[论文解读] Multi-dimensional Sublinear Sparse Fourier Algorithm

Bosu Choi, Andrew Christlieb+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了一种多维次线性稀疏傅里叶算法，通过部分展开和倾斜技术高效计算高维信号的稀疏傅里叶变换。通过避免将信号完全展开为一维，该方法实现了次线性时间复杂度和采样复杂度，将先前的一维稀疏傅里叶变换结果扩展到更高维度，同时提升了可扩展性。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the development of a sublinear sparse Fourier algorithm for high-dimensional data. In Adaptive Sublinear Time Fourier Algorithm by D. Lawlor, Y. Wang and A. Christlieb (2013), an efficient algorithm with empirically $O(k\log k)$ runtime and $O(k)$ sampling complexity for the one-dimensional sparse FFT was developed for signals of bandwidth $N$, where $k$ is the number of significant modes such that $k\ll N$. In this work we develop an efficient algorithm for sparse FFT for higher dimensional signals, extending some of the ideas in the paper mentioned above. Note a higher dimensional signal can always be unwrapped into a one dimensional signal, but when the dimension gets large, a higher dimensional signal into a one dimensional array is far too expensive to be realistic. Our approach here introduces two new concepts; partial unwrapping and tilting. These two ideas allow us to efficiently compute the sparse FFT of higher dimensional signals.

研究动机与目标

• 解决高维信号全一维展开计算不可行的问题。
• 在保持效率的同时，将一维次线性稀疏傅里叶变换算法扩展到更高维度。
• 对于满足 k ≪ N 的高维稀疏信号，降低采样和运行时间复杂度。
• 开发可扩展的方法，避免全维展开带来的指数级成本。

提出的方法

• 引入部分展开技术，无需将高维信号完全转换为一维即可处理。
• 应用倾斜技术重新定向频率分量，以在更高维度中高效计算稀疏傅里叶变换。
• 将一维自适应次线性傅里叶变换算法的核心原理适配到多维场景。
• 采用结构化采样策略，确保在高维中保持 O(k) 的采样复杂度。
• 利用频域稀疏性，实现显著模式数 k 的次线性运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不进行全维展开的情况下，将一维次线性稀疏傅里叶变换扩展到多维信号？
• RQ2 哪些技术能够实现在高维稀疏傅里叶变换中的高效采样与计算？
• RQ3 部分展开与倾斜技术是否能在保持精度的同时降低多维信号处理的计算成本？
• RQ4 在稀疏性约束下，多维稀疏傅里叶变换可实现的采样与运行时间复杂度是多少？

主要发现

• 所提算法对高维稀疏信号实现了次线性运行时间与 O(k) 采样复杂度，扩展了一维结果。
• 部分展开技术使高维信号处理在避免全一维转换的高昂成本下得以高效实现。
• 倾斜技术可有效定位多维傅里叶空间中的频率分量，提升计算效率。
• 通过避免将信号完全展开为一维，该方法在大维度下仍保持可扩展性。