[论文解读] Multi-input Schrödinger equation: controllability, tracking, and application to the quantum angular momentum

Ugo Boscain, Marco Caponigro+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Laser-Matter Interactions and Applications参考文献 20被引用 15

一句话总结

本文通过李代数与伽辽金逼近方法，为具有退化谱的多输入双线性薛定谔方程建立了近似可控性、同步可控性以及模值跟踪的充分条件。关键贡献是一个通用框架，可克服以往阻碍控制的谱简并与共振问题，实现对量子角动量系统（如旋转极性分子）的非微扰控制。

ABSTRACT

We present a sufficient condition for approximate controllability of the bilinear discrete-spectrum Schrödinger equation exploiting the use of several controls. The controllability result extends to simultaneous controllability, approximate controllability in $H^s$, and tracking in modulus. The result is more general than those present in the literature even in the case of one control and permits to treat situations in which the spectrum of the uncontrolled operator is very degenerate (e.g. it has multiple eigenvalues or equal gaps among different pairs of eigenvalues). We apply the general result to a rotating polar linear molecule, driven by three orthogonal external fields. A remarkable property of this model is the presence of infinitely many degeneracies and resonances in the spectrum preventing the application of the results in the literature.

研究动机与目标

• 为解决双线性薛定谔方程在高度退化谱（如多重特征值或相等谱间隙）下缺乏一般性可控性结果的问题。
• 将近似可控性扩展至无限维希尔伯特空间中的同步可控性与模值跟踪。
• 为具有强谱退化的量子系统（如旋转的三维对称分子）提供非微扰控制方法。
• 通过伽辽金逼近上的李代数条件，建立构造性控制设计方法，实现算法化控制合成。
• 展示该方法在物理系统（如极性线性分子中量子角动量在三个正交场作用下）中的适用性。

提出的方法

• 提出李-伽辽金控制条件，通过分析漂移哈密顿量前N个本征求解张成的有限维伽辽金子空间上控制算符生成的李代数，确保可控性。
• 在由漂移哈密顿量前N个本征态张成的有限维子空间上，对薛定谔方程进行伽辽金逼近。
• 采用凸化技术处理无法直接消除的控制算符对角分量，从而实现对退化子空间的控制。
• 引入改进的李-伽辽金追踪条件，即使在存在耗散效应时，也能确保对期望轨迹的模值跟踪。
• 通过构造与所需精度无关的均匀 $L^1$ 范数有界分段常数控制，建立 $L^1$-有界控制合成。
• 依赖 $s$-弱耦合条件，确保在索伯列夫型范数 $H^{s/2}$ 下演化算符的统一有界性，保持态的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $H_0$ 的谱高度退化（如多重特征值或相等谱间隙）时，是否可实现双线性薛定谔方程的近似可控性？
• RQ2 在不微扰系统的情况下，是否可在 $H^{s/2}$-范数下实现对多个初态的同步可控性与模值跟踪？
• RQ3 多控制输入是否能实现单控制方法因对称性诱导的退化而失效的系统的可控性？
• RQ4 能否开发一种非微扰方法，以控制具有无穷多退化性的量子系统（如旋转的三维对称分子）？
• RQ5 是否可通过基于系统李代数结构的构造性算法，构建显式的、$L^1$-有界控制？

主要发现

• 本文建立了多输入双线性薛定谔方程近似可控性的充分条件，即使在 $H_0$ 的谱高度退化（包括无穷多退化）时也适用。
• 该方法可在 $H^{s/2}$-范数下实现对多个初态的同步近似可控性，且控制输入具有与所需精度无关的统一 $L^1$-有界性。
• 该框架可实现对任意给定轨迹的模值跟踪，这对具有耗散能级的系统至关重要，且无需对哈密顿量进行微扰。
• 该结果比以往工作更具普遍性，甚至在单输入情形下也优于先前成果，适用于如带控制项 $u(t)x$ 的拉普拉斯-狄利克雷算符等系统。
• 证明具有构造性，并导出计算显式控制律的算法，如 [CBCS11] 所示，通过利用李-伽辽金追踪条件实现。
• 该方法克服了以往方法（如 [BCCS12]）的局限性——后者依赖微扰打破退化——而是直接作用于完整的退化结构。