[论文解读] Multifractal analysis of irregular sets for weak Gibbs measures

Thiago Bomfim, Paulo Varandas|arXiv (Cornell University)|May 11, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 44被引用 3

一句话总结

本文在扩张排斥子系统中，针对弱 Gibbs 测度下的不规则集——即其 Birkhoff 时间平均偏离平衡态空间平均的点——建立了精确的拓扑压估计。对于 H"older 连续势函数，证明了在区间 I 上此类集合的压强由全系统的压强与一个大偏差率函数共同决定，当满足规范性性质时，表明大多数不规则集的压强严格小于全系统的压强。

ABSTRACT

In this article we prove estimates for the topological pressure of the set of points whose Birkhoff time averages are far from the space averages corresponding to the unique equilibrium state that has a weak Gibbs property. In particular, if $f$ has an expanding repeller and $\phi$ is an Holder continuous potential we prove that the topological pressure of the set of points whose accumulation values of Birkhoff averages belong to some interval $I\subset \mathbb R$ can be expressed in terms of the topological pressure of the whole system and the large deviations rate function. As a byproduct we deduce that most irregular sets for maps with the specification property have topological pressure strictly smaller than the whole system. Some extensions to a non-uniformly hyperbolic setting, level-2 irregular sets and hyperbolic flows are also given.

研究动机与目标

• 分析在弱 Gibbs 测度下，Birkhoff 时间平均偏离空间平均的不规则集的拓扑压强。
• 建立此类不规则集的压强与大偏差率函数之间的定量关系。
• 将结果推广至非一致双曲设定和双曲流系统。
• 证明在规范性性质下，不规则集的拓扑压强严格小于全系统的压强。

提出的方法

• 利用多分形分析技术研究 Birkhoff 平均的水平集。
• 应用弱 Gibbs 性质以控制典型轨道的测度行为。
• 运用大偏差原理，将不规则集的压强表达为全系统压强与率函数的组合。
• 利用规范性性质构造具有所需遍历平均的轨道，并估计压强。
• 依赖势函数的 H"older 连续性以确保压强估计的正则性。
• 将结果从一致双曲系统推广至非一致双曲系统和双曲流系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱 Gibbs 测度下，Birkhoff 平均位于给定区间 I 的点集的拓扑压强与全系统的压强相比如何？
• RQ2 在扩张排斥子系统中，不规则集的压强与大偏差率函数之间存在何种精确的函数关系？
• RQ3 在规范性性质下，不规则集的压强比全系统小多少？
• RQ4 多分形压强的结果能否推广至非一致双曲系统和双曲流？
• RQ5 弱 Gibbs 性质如何影响不规则集的压强估计？

主要发现

• Birkhoff 平均位于区间 I 的点集的拓扑压强可表示为全系统压强与一个涉及大偏差率函数的项之和。
• 对于具有规范性性质的映射，大多数不规则集的拓扑压强严格小于全系统的压强。
• 结果适用于具有弱 Gibbs 平衡态的 H"older 连续势函数在扩张排斥子上的情形。
• 已建立向非一致双曲系统和双曲流系统的推广，表明压强估计具有鲁棒性。
• 通过相同的大偏差框架刻画了二级不规则集的压强。
• 弱 Gibbs 性质使得对不规则集的测度论与拓扑压强估计实现了精确控制。