[论文解读] Multifraction reduction II: Conjectures for Artin-Tits groups

Patrick Dehornoy|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文引入了诺特诺尔 GCD-半群中多分式最大驯服 $i$-约化子的概念，证明其为所有极大 $i$-约化子的 gcd，且是 $\gcd(a_i, a_{i+1})$ 的倍数。本文证明重复驯服约化可导出一个驯服-不可约多分式，并猜想约化系统 $\mathcal{R}_M^{\pm}$ 的半收敛性（即猜想 A）成立当且仅当每个单位元、驯服-不可约多分式要么平凡，要么可约——这是证明 Artin-Tits 群中分式分解唯一性的关键。

ABSTRACT

Multifraction reduction is a new approach to the word problem for Artin-Tits groups and, more generally, for the enveloping group of a monoid in which any two elements admit a greatest common divisor. This approach is based on a rewrite system ("reduction") that extends free group reduction. In this paper, we show that assuming that reduction satisfies a weak form of convergence called semi-convergence is sufficient for solving the word problem for the enveloping group, and we connect semi-convergence with other conditions involving reduction. We conjecture that these properties are valid for all Artin-Tits monoids, and provide partial results and numerical evidence supporting such conjectures.

研究动机与目标

• 定义并刻画诺特诺尔 GCD-半群中多分式的最大驯服 $i$-约化子。
• 建立约化系统 $\mathcal{R}_M^{\pm}$ 半收敛的条件。
• 研究驯服-不可约多分式及其约化子的结构。
• 证明 Artin-Tits 半群中 4-多分式情形下，猜想 A 与猜想 B 的等价性。
• 证明分式分解 $ab^{-1}$ 满足 $a\mathbin{\widetilde{\wedge}}b=1$ 的唯一性等价于猜想 A$_4$。

提出的方法

• 将最大驯服 $i$-约化子定义为多分式 $\underline{a}$ 的所有极大 $i$-约化子的 gcd。
• 证明该最大驯服约化子唯一，且整除 $\gcd(a_i, a_{i+1})$。
• 利用引理~\ref{L:Tame2} 证明：任何最大驯服约化子的因子本身也是驯服约化子。
• 引入算子 $\mathrm{red}_{\mathrm{t}}(\underline{a})$，定义为重复应用最大驯服 $i$-约化子的结果。
• 将该概念应用于 Artin-Tits 半群，特别是 $\widetilde{A}_2$ 类型，通过实例测试猜想。
• 建立猜想 A$_4$ 与 $\mathcal{U}(M)$ 中分式分解唯一性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Artin-Tits 半群中每个单位元、驯服-不可约多分式是否在野性约化下存在公共约化？
• RQ2 约化系统 $\mathcal{R}_M^{\pm}$ 半收敛当且仅当每个单位元、驯服-不可约多分式要么平凡，要么可约？
• RQ3 最大驯服 $i$-约化子是否可计算为极大 $i$-约化子的 gcd，且是否总位于 $\gcd(a_i, a_{i+1})$ 之上？
• RQ4 在 4-多分式情形下，猜想 B（即对单位元 $\underline{a}$ 有 $\mathrm{red}_{\mathrm{t}}(\underline{a}) = \underline{1}$）是否与猜想 A 等价？
• RQ5 分式分解 $ab^{-1}$ 满足 $a\mathbin{\widetilde{\wedge}}b=1$ 的唯一性是否蕴含 $\mathcal{R}_M^{\pm}$ 的半收敛性？

主要发现

• 多分式 $\underline{a}$ 的最大驯服 $i$-约化子是所有极大 $i$-约化子的 gcd，且是 $\gcd(a_i, a_{i+1})$ 的倍数。
• 重复应用最大驯服 $i$-约化子可导出一个驯服-不可约多分式，若无进一步驯服约化可应用，则该多分式为素数。
• 在 $\widetilde{A}_2$ 类型的 Artin-Tits 半群中，$\mathrm{red}_{\mathrm{t}}(\mathtt{1/c/aba}) = \mathtt{1/c/aba}$，表明不存在非平凡的驯服约化。
• 在 $A_2$ 类型中，对 $\underline{a} = \mathtt{1/a/cabab}$，最大驯服 2-约化子为 $ca$，是 $\gcd(a, cabab) = 1$ 的真倍数，表明其可超过项的 gcd。
• 猜想 A$_4$ 成立当且仅当每个单位元 4-多分式在 Artin-Tits 半群中要么平凡，要么可约。
• 猜想 A$_4$ 与 B$_4$ 等价，且二者均与分式分解 $ab^{-1}$ 满足 $a\mathbin{\widetilde{\wedge}}b=1$ 的唯一性等价。