[论文解读] Multigrid Methods for Constrained Minimization Problems and Application to Saddle Point Problems

Long Chen|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 45被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于约束最小化问题及混合有限元离散化所产生的鞍点系统的多重网格方法，适用于泊松方程、斯托克斯方程和达西方程等PDE问题。通过将该方法解释为在约束空间的多水平分解基础上进行的逐子空间优化，并采用乘法Schwarz平滑器（Vanka型），作者在稳定分解和强化柯西-施瓦茨假设下证明了即使在不满足完整正则性条件时，该方法仍具有统一收敛性，并将该框架扩展至非协调有限元方法，仅需一次平滑步骤即可实现统一收敛性。

ABSTRACT

The first order condition of the constrained minimization problem leads to a saddle point problem. A multigrid method using a multiplicative Schwarz smoother for saddle point problems can thus be interpreted as a successive subspace optimization method based on a multilevel decomposition of the constraint space. Convergence theory is developed for successive subspace optimization methods based on two assumptions on the space decomposition: stable decomposition and strengthened Cauchy-Schwarz inequality, and successfully applied to the saddle point systems arising from mixed finite element methods for Poisson and Stokes equations. Uniform convergence is obtained without the full regularity assumption of the underlying partial differential equations. As a byproduct, a V-cycle multigrid method for non-conforming finite elements is developed and proved to be uniform convergent with even one smoothing step.

研究动机与目标

• 开发一种用于混合有限元方法中由鞍点系统产生的约束最小化问题的多重网格方法。
• 建立基于两个关键假设的逐子空间优化收敛性理论：稳定分解（SD）与强化柯西-施瓦茨（SCS）。
• 证明对于泊松方程、达西方程和斯托克斯方程的混合有限元方法，V型多重网格方法在无需解的完整正则性假设下仍具有统一收敛性。
• 将该框架扩展至非协调有限元方法，证明仅需一次平滑步骤即可实现统一收敛性。
• 为多重网格中的乘法Schwarz平滑器提供理论基础，填补了以往分析仅限于加法版本的空白。

提出的方法

• 该方法使用约束空间 $\mathcal{K}$ 的多水平分解，其中 $\mathcal{K} = \sum_{i=1}^{N} \mathcal{K}_i$，并在每个子空间 $\mathcal{K}_i$ 中求解局部约束最小化问题。
• 每个局部问题等价于求解一个小规模的鞍点系统，可解释为一种乘法重叠Schwarz平滑器（Vanka平滑器）。
• 在能量稳定分解（SD）和强化柯西-施瓦茨（SCS）两个假设下证明收敛性，得到收缩因子 $1 - \frac{1}{1 + C_A C_S}$。
• 该框架允许局部问题的近似求解，用一次梯度迭代替代精确求解，并从最小化角度推导出最优松弛参数。
• 对于非协调方法，该方法采用重叠Schwarz平滑器和通过嵌套通量空间构造的网格间转移算子，利用其与混合方法的等价性。
• 该分析被应用于H(div)有限元方法求解泊松方程和达西方程，以及用于斯托克斯方程的散度自由嵌套有限元方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于逐子空间优化的多重网格方法能否在混合有限元方法产生的鞍点系统中实现统一收敛性？
• RQ2 该收敛性理论是否在通常多重网格分析中所需的完整正则性假设被移除后依然成立？
• RQ3 该框架能否扩展至仅需一次平滑步骤的非协调有限元方法？
• RQ4 在缺乏对这类平滑器的先前收敛性分析的情况下，如何从理论上证明多重网格中乘法Schwarz平滑器在鞍点问题中的合理性？
• RQ5 能否利用Crouzeix-Raviart非协调方法与混合方法之间的等价性，设计出对泊松方程具有统一收敛性的V型多重网格方法？

主要发现

• 在稳定分解（SD）和强化柯西-施瓦茨（SCS）假设下，证明了泊松方程和达西方程混合有限元离散化下V型多重网格方法的统一收敛性，且无需解的完整正则性。
• 即使对于非协调有限元方法，仅需一次平滑步骤，该方法仍能实现统一收敛性，这一结果未被先前的多重网格收敛理论所涵盖。
• 提出了一种三维Raviart-Thomas元的新多水平分解，避免了对偶论证，从而放松了对完整正则性的假设。
• 该收敛性理论被扩展至使用嵌套散度自由有限元的斯托克斯方程，证明了即使在仅一次平滑步骤的V型循环下，仍具有统一收敛性，且无需完整正则性。
• 该框架为Vanka平滑器提供了清晰的能量最小化解释，并通过最小化原理证明了松弛参数的最优选择。
• 分析确认了强化柯西-施瓦茨不等式与稳定分解在多水平H(div)空间中成立，从而为混合方法的收敛性证明提供了支持。