[论文解读] MultiMesh Finite Element Methods I: Solving PDEs on Multiple Intersecting Meshes

August Johansson, Benjamin Kehlet+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出多网格有限元方法（MultiMesh FEM），一种新颖的框架，用于在多个相交的网格上求解偏微分方程（PDE），能够对发动机部件或多物理场系统等独立区域进行独立离散化。该方法展示了最优收敛性，对细小交叠和舍入误差具有鲁棒性，并适用于大变形问题。

ABSTRACT

We present a new framework for expressing finite element methods on multiple intersecting meshes: multimesh finite element methods. The framework enables the use of separate meshes to discretize parts of a computational domain that are naturally separate; such as the components of an engine, the domains of a multiphysics problem, or solid bodies interacting under the influence of forces from surrounding fluids or other physical fields. Such multimesh finite element methods are particularly well suited to problems in which the computational domain undergoes large deformations as a result of the relative motion of the separate components of a multi-body system. In the present paper, we formulate the multimesh finite element method for the Poisson equation. Numerical examples demonstrate the optimal order convergence, the numerical robustness of the formulation and implementation in the face of thin intersections and rounding errors, as well as the applicability of the methodology. In the accompanying paper~\cite{mmfem-2}, we analyze the proposed method and prove optimal order convergence and stability.

研究动机与目标

• 解决由多个独立离散化组件构成的计算域中PDE的求解挑战，这些组件经历大相对运动。
• 使有限元方法能够处理天然分离的区域，例如相互作用的固体、流体或多物理场组件。
• 开发一种鲁棒的数值框架，即使在网格交叠极薄或存在数值舍入误差时也能保持稳定与准确。
• 为使用每个域独立网格求解涉及大变形和复杂几何相互作用的时间依赖问题提供基础。

提出的方法

• 使用多个重叠网格弱形式化泊松方程，每个网格独立细化和自适应。
• 采用尼茨赫方法在网格交叠区域弱强制连续性或界面条件。
• 使用在背景网格与前景网格交叠区域上积分的积分规则，确保在重叠单元上的精确积分。
• 采用剪切有限元方法处理相交网格的几何复杂性，而无需结构化匹配网格。
• 实施类似mortar的保守耦合方法，以处理网格间非匹配界面的解耦合。
• 采用稳定化的变分公式，以确保在小尺寸或扭曲交叠情况下的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种有限元方法，用于在多个独立生成、以复杂方式相交的网格上求解PDE？
• RQ2 如何在网格交叠极薄或扭曲时确保交叠区域的连续性与稳定性？
• RQ3 尽管存在几何与积分挑战，该方法在泊松方程上是否仍能实现最优收敛率？
• RQ4 该方法对数值舍入误差和微小交叠体积的鲁棒性如何？
• RQ5 该框架能否扩展至涉及组件间大相对运动的时间依赖问题？

主要发现

• 所提出的MultiMesh FEM在泊松方程上实现了最优收敛阶，经数值实验验证。
• 即使网格交叠极薄或对齐不良，该方法仍保持数值鲁棒性。
• 该格式在舍入误差存在时仍保持稳定与准确，展现出实际可靠性。
• 该框架支持对独立区域进行独立网格划分，从而高效处理复杂多体系统。
• 该方法适用于大变形问题，因其避免了重划分网格或复杂界面追踪的需要。
• 实现具有可扩展性，且可推广至其他PDE和多物理场问题，如后续论文中的理论分析所示。