[论文解读] Multimode Gaussian optimizers for the Wehrl entropy and quantum Gaussian channels

Giacomo De Palma, Dario Trevisan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2017

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文证明，在多模 regime 中，对于具有给定冯·诺依曼熵的任意量子态，热高斯态使魏尔熵最小化；同时，对于输入态在乘积基下对角化的多模量子高斯通道，热高斯态也使输出冯·诺依曼熵最小化。这些结果通过证明量子-经典和经典-量子通道的受限最小输出熵的可加性而推导得出，将先前的一模结果推广至多模情形，为量子信息理论中长期悬而未决的最小输出熵猜想提供了强有力证据。

ABSTRACT

We prove in the multimode scenario a fundamental relation between the Wehrl and the von Neumann entropy, stating that the minimum Wehrl entropy among all the quantum states with a given von Neumann entropy is achieved by thermal Gaussian states. We also prove that thermal Gaussian input states minimize the output von Neumann entropy of multimode quantum Gaussian attenuators, amplifiers and phase-contravariant channels among all the input states diagonal in some product basis and with a given entropy. This result constitutes a major step towards the proof of the same property for generic input states, which is still an open conjecture. This conjecture is necessary to determine the maximum communication rates for the triple trade-off coding and broadcast communication with the Gaussian quantum-limited attenuator. Finally, we prove that the tensor product of n identical geometric input probability distributions minimizes the output Shannon entropy of the n-mode thinning among all the input probability distributions with a given entropy.

研究动机与目标

• 将魏尔熵与冯·诺依曼熵之间的基本关系从单模推广至多模量子领域。
• 证明在具有固定熵的、在乘积基下对角化的输入态中，多模量子高斯衰减器、放大器及相位对偶性通道的输出冯·诺依曼熵最小化于热高斯输入态。
• 为证明任意输入态下量子高斯通道的一般最小输出熵猜想迈出关键一步。
• 建立薄化映射在多模情形下的受限最小输出熵性质的推广，表明几何分布的张量积使输出香农熵最小化。

提出的方法

• 通过归纳法与凸性论证，证明了量子-经典与经典-量子通道的受限最小输出熵（CMOE）可加性。
• 将可加性结果应用于证明：在多模情形下，对于给定冯·诺依曼熵，最小魏尔熵由热高斯态实现。
• 利用可加性框架，证明当输入态在乘积基下对角化时，n模热高斯态使n模张量积量子高斯通道的输出冯·诺依曼熵最小化。
• 通过结合可加性结果与已知的单模情形下关于几何分布的结果，将CMOE性质推广至n模薄化映射。
• 利用熵函数的凸性与单调性分析，特别是涉及熵函数g(λ)及其逆函数的分析，以证明所需的不等式。
• 运用关于熵函数g及其逆函数的复合函数的凸性与单调性的辅助引理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多模情形下，对于具有给定冯·诺依曼熵的量子态，最小魏尔熵是否仍由热高斯态实现，如同单模情形一样？
• RQ2 在多模设置下，对于在乘积基下对角化的输入态，量子高斯通道的受限最小输出熵猜想是否可被证明？
• RQ3 在所有具有给定熵的输入分布中，n模薄化映射的输出熵是否由n个相同几何分布的张量积最小化？
• RQ4 在多模设置下，量子-经典与经典-量子通道的受限最小输出熵可加性是否成立？
• RQ5 能否通过可加性框架严格建立薄化映射的最小输出熵性质在多模情形下的推广？

主要发现

• 在多模情形下，所有具有给定冯·诺依曼熵的量子态中，最小魏尔熵由热高斯态实现，证实了此前仅在单模情形下被证明的猜想。
• 对于多模量子高斯通道（衰减器、放大器、相位对偶性通道），在所有在乘积基下对角化且具有固定熵的输入态中，热高斯输入态使输出冯·诺依曼熵最小化。
• 该结果为一般最小输出熵猜想提供了强有力证据，该猜想对任意输入态仍为开放问题，且对确定三重权衡与广播量子通信中的最大通信速率至关重要。
• 所有具有给定熵的输入分布中，n个相同几何输入概率分布的张量积使n模薄化映射的输出香农熵最小化，扩展了已知的单模结果。
• 受限最小输出熵的可加性在量子-经典与经典-量子通道中被严格证明，从而使得单模结果可推广至多模领域。
• 该证明依赖于熵函数的新颖凸性与单调性性质，特别是涉及熵函数g(λ)的逆函数，这些性质通过详细分析对数与有理函数而建立。