[论文解读] Multiple zeta values over global function fields

Riad Masri|ArXiv.org|Dec 1, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文建立了全局函数域上多重zeta函数在所有复维度上的亚纯延拓，证明其为 $ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ 的有理函数，分母具有指定形式。利用Riemann-Roch定理，证明这些函数在特定线性子簇上具有单极点，将多重zeta值的解析理论扩展至函数域。

ABSTRACT

In this paper we develop the analytic theory of a multiple zeta function in d independent complex variables defined over a global function field. This is the function field analog of the Euler-Zagier multiple zeta function of depth d.

研究动机与目标

• 发展全局函数域上多重zeta函数的解析理论，类比于 $ \mathbb{Q} $ 上的Euler-Zagier多重zeta函数。
• 将 $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ 亚纯延拓至所有 $ (s_1, \dots, s_d) \in \mathbb{C}^d $。
• 证明 $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ 是 $ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ 的有理函数，且分母具有指定形式。
• 刻画可能极点的位置，其位于线性子簇 $ s_k + \cdots + s_d = 0, 1, \dots, d-k+1 $ 上。

提出的方法

• 将多重zeta函数 $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ 定义为度数非减的有效除子元组之和。
• 利用全局函数域的Riemann-Roch定理分析给定度数的有效除子数量。
• 将zeta函数表示为按除度求和的形式，根据亏格 $ g $ 将和分解为有限部分与无限部分。
• 应用几何级数求和与有理函数运算处理和的无限尾部。
• 使用Riemann-Roch公式 $ \ell(D) = \deg(D) - g + 1 + \ell(K - D) $ 计算 $ b_n = \#\{ D \geq 0 : \deg(D) = n \} $，其中 $ n \geq 2g - 1 $。
• 将有限部分与无限部分合并为关于 $ u = q^{-s} $、$ v = q^{-w} $ 的生成函数，并证明整体函数为有理函数，且极点位于指定位置。

实验结果

研究问题

• RQ1 全局函数域上的多重zeta函数能否被亚纯延拓至整个 $ \mathbb{C}^d $？
• RQ2 全局函数域上的多重zeta函数是否为 $ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ 的有理函数，且分母受控？
• RQ3 多重zeta函数在复平面上的极点位于何处？
• RQ4 Riemann-Roch定理如何促进函数域设定下多重zeta函数的解析延拓？

主要发现

• 多重zeta函数 $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ 在所有 $ (s_1, \dots, s_d) \in \mathbb{C}^d $ 上具有亚纯延拓。
• 该函数在每个 $ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ 上均为有理函数，其分母由 $ K $ 的亏格与类数显式确定。
• 该函数在直线子簇 $ s_k + \cdots + s_d = 0, 1, \dots, d-k+1 $ 上可能具有单极点，其中 $ k = 1, \dots, d $。
• 在深度为2的情形下，函数 $ Z_2(K; s, w) $ 被证明为 $ q^{-s} $ 与 $ q^{-w} $ 的有理函数，极点位于 $ w=0,1 $，$ s+w=0,1,2 $，以及 $ s=0,1 $。
• 构造了生成函数 $ A(u,v) $、$ B(u,v) $ 与 $ C(u,v) $，并证明其为有理函数，其中 $ C(u,v) $ 包含至 $ u^{2g-1} $ 与 $ v $ 的次数达 $ 1+2+\cdots+2g $ 的项。
• 乘积 $ Q(u,v)Z_2(K;s,w) $ 是 $ u $ 与 $ v $ 的有界次数多项式，从而确认了完整zeta函数的有理性与亚纯结构。