[论文解读] Multiplication on uniform $λ$-Cantor sets

Jiangwen Gu, Kan Jiang+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文对康托尔集 $C$ 的乘积集 $C \cdot C$ 提供了完整的拓扑与测度论描述，并将分析扩展至均匀 $λ$-康托尔集。利用自相似结构与区间迭代，证明了 $K_\lambda \cdot K_\lambda = \{0\} \cup \bigcup_{n=0}^\infty \lambda^n (K_R \cdot K_R)$，其中 $K_R$ 为余集，且建立了 Lebesgue 测度作为 $λ$ 的函数的连续性。对于中间三分之一康托尔集，$C \cdot C$ 的测度被数值估计为约 0.80955。

ABSTRACT

Let $C$ be the middle-third Cantor set. Define $C*C=\{x*y:x,y\in C\}$, where $*=+,-,\cdot,÷$ (when $*=÷$, we assume $y eq0$). Steinhaus \cite{HS} proved in 1917 that \[ C-C=[-1,1], C+C=[0,2]. \] In 2019, Athreya, Reznick and Tyson \cite{Tyson} proved that \[ C÷C=\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}\left[ 3^{-n}\dfrac{2}{3},3^{-n}\dfrac {3}{2} ight] . \] In this paper, we give a description of the topological structure and Lebesgue measure of $C\cdot C$. We indeed obtain corresponding results on the uniform $λ$-Cantor sets.

研究动机与目标

• 描述中间三分之一康托尔集的乘积集 $C \cdot C$ 的拓扑与测度论结构，这是分形几何中的基本对象。
• 将分析推广至由参数 $\lambda \in [1/(m+1), 1/m)$ 的迭代函数系统定义的均匀 $λ$-康托尔集。
• 建立 $K_\lambda \cdot K_\lambda$ 的 Lebesgue 测度作为 $λ$ 的函数的连续性。
• 解决关于 $C \cdot C$ 精确结构的开放问题，此前研究仅给出了其测度的上下界。

提出的方法

• 通过迭代函数系统 $\{f_i(x) = \lambda x + i\delta\}_{i=0}^{m-1}$ 定义 $K_\lambda$ 为均匀 $λ$-康托尔集，其中 $\delta = \lambda + g$，$g = (1 - m\lambda)/(m-1)$。
• 引入集合 $\mathcal{A}$，即首数字 $\geq 1$ 的基本区间，对 $I \in \mathcal{A}$ 定义 $\widehat{I} = \bigcup_{p<q} (I^{(p)} \cdot I^{(q)})$，以捕捉子区间的交叉乘积。
• 证明 $K_\lambda \cdot K_\lambda = \{0\} \cup \bigcup_{n=0}^\infty \lambda^n (K_R \cdot K_R)$，其中 $K_R = \bigcup_{i=1}^{m-1} f_i(K_\lambda)$。
• 利用区间迭代与测度估计，界定 $K_R \cdot K_R$ 中 $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ 的补集的测度，表明其随 $λ$ 几何衰减。
• 通过有限逼近 $\phi_n(\lambda)$ 的一致收敛性，建立 $\Phi(\lambda) = \mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ 的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 中间三分之一康托尔集 $C$ 的 $C \cdot C$ 的精确拓扑结构是什么？
• RQ2 对于 $λ \in [1/(m+1), 1/m)$ 的均匀 $λ$-康托尔集，乘积集 $K_\lambda \cdot K_\lambda$ 如何分解？
• RQ3 Lebesgue 测度 $\mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ 是否关于 $λ$ 连续变化？
• RQ4 对于某些 $λ$，集合 $\{x^2 : x \in K_R\}$ 是否可被 $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ 吸收？
• RQ5 $\mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ 是否关于 $λ$ 单调递增？

主要发现

• 对于中间三分之一康托尔集（$m=2$，$\lambda=1/3$），乘积集 $C \cdot C$ 的 Lebesgue 测度约为 0.80955，通过数值近似计算得出。
• 乘积集 $K_\lambda \cdot K_\lambda$ 的表达式为 $\{0\} \cup \bigcup_{n=0}^\infty \lambda^n (K_R \cdot K_R)$，其中 $K_R$ 为 $K_\lambda$ 在索引 $\geq 1$ 的映射下的像的并集。
• $K_R \cdot K_R$ 是 $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ 与 $\{x^2 : x \in K_R\}$ 的并集，后者的 Lebesgue 测度为零。
• 当 $m=2$ 且 $\lambda \in (0.44, 1/2)$ 时，集合 $K_R \cdot K_R \setminus \bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I}$ 恰好为 $\{(1-\lambda)^2, 1\}$，因此 $\bigcup_{I \in \mathcal{A}} \widehat{I} = ((1-\lambda)^2, 1)$。
• $\mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ 在 $[1/(m+1), 1/m)$ 上连续，其连续性通过有限逼近的一致收敛性得以证明。
• 函数 $\Phi(\lambda) = \mathcal{L}(K_\lambda \cdot K_\lambda)$ 连续，且数值证据表明其在 $[1/(m+1), 1/m)$ 上可能单调递增。