[论文解读] Multiplicity of positive solutions for a class of fractional Schrödinger equations via penalization method

Vincenzo Ambrosio|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文建立了具有局部最小值势 $ V(x) $ 和满足超线性与亚临界增长条件的非线性项 $ f(u) $ 的分数阶薛定谔方程的正解多重性。通过惩罚法与Ljusternik-Schnirelmann范畴理论，证明了当 $ \varepsilon > 0 $ 足够小时，正解的数量下界由集合 $ M = \{x \in \Lambda : V(x) = V_0\} $ 的范畴决定，且解在 $ V $ 的极小值点附近集中。通过截断与Moser迭代，该结果进一步推广至双幂次非线性项。

ABSTRACT

By using the penalization method and the Ljusternik-Schnirelmann theory, we investigate the multiplicity of positive solutions of the following fractional Schrödinger equation $$ \e^{2s}(-Δ)^{s} u + V(x)u = f(u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{N} $$ where $\varepsilon>0$ is a parameter, $s\in (0, 1)$, $N>2s$, $(-Δ)^{s}$ is the fractional Laplacian, $V$ is a positive continuous potential with local minimum, and $f$ is a superlinear function with subcritical growth. We also obtain a multiplicity result when $f(u)=|u|^{q-2}u+λ|u|^{r-2}u$ with $20$, by combining a truncation argument and a Moser-type iteration.

研究动机与目标

• 建立带奇异扰动参数 $ \varepsilon > 0 $ 的一类分数阶薛定谔方程正解的存在性与多重性。
• 将正解的数量与集合 $ M = \{x \in \Lambda : V(x) = V_0\} $ 的拓扑复杂性相关联，其中 $ V_0 = \inf V(x) $。
• 将多重性结果推广至双幂次非线性项 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $，其中 $ 2 < q < 2_s^* \leq r $ 且 $ \lambda > 0 $。
• 分析当 $ \varepsilon \to 0 $ 时解的集中行为，表明解的全局极大值收敛至满足 $ V(x) = V_0 $ 的点。

提出的方法

• 应用惩罚法以处理由于非紧致域 $ \mathbb{R}^N $ 及 $ V(x) $ 在无穷远处信息缺失所导致的紧致性缺失问题。
• 通过变量替换 $ u(x) \mapsto u(\varepsilon x) $ 将原问题转化为 $ \varepsilon $-无关的 $ \mathbb{R}^N $ 上的方程。
• 利用Ljusternik-Schnirelmann范畴理论估计相关能量泛函的临界点数量。
• 采用截断论证处理双幂次非线性项 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $，确保泛函满足必要的紧致性条件。
• 应用Moser型迭代证明解的统一 $ L^\infty $ 有界性，这对收敛性与正则性分析至关重要。
• 依赖Caffarelli-Silvestre扩展，将分数阶拉普拉斯算子与上半空间中的局部退化椭圆问题联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，分数阶薛定谔方程 $ \varepsilon^{2s}(-\Delta)^s u + V(x)u = f(u) $ 的正解有多少个？
• RQ2 正解的数量与集合 $ M = \{x \in \Lambda : V(x) = V_0\} $ 的拓扑结构之间存在何种关系？
• RQ3 该多重性结果能否推广至具有两个竞争幂次的非线性项 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $，其中 $ 2 < q < 2_s^* \leq r $？
• RQ4 当 $ \varepsilon \to 0 $ 时，解在何处集中，这与势能 $ V(x) $ 有何关联？

主要发现

• 对于任意 $ \delta > 0 $，使得 $ M_\delta = \{x \in \mathbb{R}^N : \text{dist}(x,M) \leq \delta\} \subset \Lambda $，存在 $ \varepsilon_\delta > 0 $，使得对所有 $ \varepsilon \in (0, \varepsilon_\delta) $，方程至少有 $ \text{cat}_{M_\delta}(M) $ 个正解。
• 每个正解 $ u_\varepsilon $ 在满足 $ \lim_{\varepsilon \to 0} V(x_\varepsilon) = V_0 $ 的点 $ x_\varepsilon $ 附近集中，即在势能极小值点附近。
• 通过截断与Moser迭代论证，将多重性结果推广至非线性项 $ f(u) = |u|^{q-2}u + \lambda|u|^{r-2}u $，其中 $ 2 < q < 2_s^* \leq r $ 且 $ \lambda > 0 $。
• 解在 $ L^\infty $ 中一致有界，其界依赖于 $ \lambda $、$ K $ 及问题参数，确保了小 $ \lambda $ 下解的存在性。
• 解的数量由 $ M $ 在 $ M_\delta $ 中的Ljusternik-Schnirelmann范畴控制，为临界点数量提供了拓扑下界。