[论文解读] Multiplicity one for the mod $p$ cohomology of Shimura curves: the tame case

Yongquan Hu, Haoran Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文在正则情形下建立了对 $p$-余上同调的希米拉曲线的唯一性性质：当在 $p$ 上方的素点 $v$ 处局部伽罗瓦表示 $\overline{\rho}$ 为正则且一般时，与模 $p$ 余上同调相关的 $\mathrm{GL}_2(F_v)$-表示的 $K_1$-不变子空间同构于布雷尤与帕什库纳斯构造的表示 $D_0(\overline{\rho})$，证明该子空间仅依赖于 $\overline{\rho}$ 且满足唯一性。

ABSTRACT

Let $F$ be a totally real field, $\mathfrak{p}$ an unramified place of $F$ dividing $p$ and $\overline{r}: \mathrm{Gal}(\overline{F}/F) ightarrow\mathrm{GL}_2(\overline{\mathbb{F}}_p)$ a continuous irreducible modular representation. The work of Buzzard, Diamond and Jarvis associates to $\overline{r}$ an admissible smooth representation of $\mathrm{GL}_2(F_\mathfrak{p})$ on the mod $p$ cohomology of Shimura curves attached to indefinite division algebras which split at $\mathfrak{p}$. When $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{F_\mathfrak{p}}/F_\mathfrak{p})}$ is tamely ramified and generic (and under some technical assumptions), we determine the subspace of invariants of this representation under the principal congruence subgroup of level $\mathfrak{p}$. In particular, it depends only on $\overline{r}|_{\mathrm{Gal}(\overline{F_\mathfrak{p}}/F_\mathfrak{p})}$ and verifies a multiplicity one property.

研究动机与目标

• 确定希米拉曲线模 $p$ 余上同调上 $\mathrm{GL}_2(F_v)$-表示的 $K_1$-不变子空间的结构。
• 在局部伽罗瓦表示为正则且一般时，建立该子空间的唯一性性质。
• 验证 $K_1$-不变子空间仅依赖于 $v$ 处的局部伽罗瓦表示 $\overline{\rho}$，而不依赖于全局数据。
• 通过上同调实现，为假设的模 $p$ 局部兰道斯对应提供一个局部约束。

提出的方法

• 使用最小行列式配凑函子 $M^\min_{\overline{r},\infty}$ 分析模 $p$ 余上同调上 $\mathrm{GL}_2(F_v)$-表示 $\pi^D_v(\overline{r})$。
• 应用推论 2.29 中的局部判别准则，以限制 $\Gamma = \mathrm{GL}_2(k_v)$-表示与 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 之间 $\mathrm{Hom}$-空间的维数。
• 依赖于布雷尤-帕什库纳斯对正则惰性类型及其相关格的 $D_0(\overline{\rho})$ 构造。
• 利用塞尔猜想的权部分以及 $\overline{V(\tau_v)}$ 的约当-霍尔德构成的结构，分析 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 的根基。
• 应用 [13] 中关于拟 $p$-伊瓦霍里固定向量的结果，将问题约化至最小配凑框架。
• 运用正则类型的理论及其格，将 $\mathrm{Hom}$-空间与变形环上相干层的结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\overline{\rho}$ 为正则且一般时，希米拉曲线模 $p$ 余上同调上 $\mathrm{GL}_2(F_v)$-表示的 $K_1$-不变子空间是否满足唯一性性质？
• RQ2 该 $K_1$-不变子空间能否完全用 $v$ 处的局部伽罗瓦表示 $\overline{\rho}$ 描述？
• RQ3 $K_1$-不变子空间是否同构于布雷尤与帕什库纳斯构造的表示 $D_0(\overline{\rho})$？
• RQ4 子空间 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 是否可嵌入其约当-霍尔德构成的内射包络的直和中？
• RQ5 最小配凑函子 $M^\min_{\overline{r},\infty}$ 如何约束 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 的结构？

主要发现

• 当 $\overline{\rho}$ 为正则且一般时，$K_1$-不变子空间 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 作为 $\mathrm{GL}_2(\mathcal{O}_{F_v})$-表示同构于 $D_0(\overline{\rho})$。
• 对每个 $\sigma \in \mathscr{D}(\overline{\rho}_v)$，有 $\mathrm{Hom}_{\Gamma}(V_{\sigma}^\circ / \varpi_E V_{\sigma}^\circ, \pi^D_v(\overline{r})^{K_1})$ 的维数恰好为一，确认了唯一性。
• 子空间 $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 可嵌入其约当-霍尔德构成的内射包络的直和中，符合局部判别准则的要求。
• $M^\min_{\overline{r},\infty}((V_{\sigma})^\circ)$ 作为 $R^\min_{\infty,\tau_v}$-模是秩为一的自由模，意味着其对应的 $\mathrm{Hom}$-空间维数至多为一。
• $\pi^D_v(\overline{r})^{K_1}$ 的 $\mathrm{GL}_2(\mathcal{O}_{F_v})$-根基同构于 $\bigoplus_{\sigma \in \mathscr{D}(\overline{\rho}_v)} \sigma$，与巴扎德-戴蒙德-贾里斯猜想的预测一致。
• 该结果在较弱的泰勒-威尔斯型假设下成立，并可推广至定值四元数代数情形，确认了不同设定下的一致性。