[论文解读] Multiscale Finite Element methods for advection-dominated problems in perforated domains

Claude Le Bris, Frédéric Legoll+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 32被引用 15

一句话总结

本文针对在具有穿孔的区域中、以对流为主导的对流-扩散问题，开发并分析了多尺度有限元方法，其中穿孔边界上施加狄利克雷或诺伊曼条件。该文引入了具有弱连续性的克鲁泽-拉维特型多尺度基函数，结合了泡函数和稳定化格式，并在适当假设下证明了收敛率为 $\mathcal{O}(\varepsilon(\sqrt{\varepsilon/H} + H + \sqrt{\varepsilon}))$，表明在高对流区域中具有鲁棒性。

ABSTRACT

We consider an advection-diffusion equation that is advection-dominated and posed on a perforated domain. On the boundary of the perforations, we set either homogeneous Dirichlet or homogeneous Neumann conditions. The purpose of this work is to investigate the behavior of several variants of Multiscale Finite Element type methods, all of them based upon local functions satisfying weak continuity conditions in the Crouzeix-Raviart sense on the boundary of mesh elements. In the spirit of our previous works [Le Bris, Legoll and Lozinski, CAM 2013 and MMS 2014] introducing such multiscale basis functions, and of [Le Bris, Legoll and Madiot, M2AN 2017] assessing their interest for advection-diffusion problems, we present, study and compare various options in terms of choice of basis elements, adjunction of bubble functions and stabilized formulations.

研究动机与目标

• 开发适用于在经典 FEM 因不稳定而失效的对流主导型对流-扩散问题的鲁棒数值方法，问题定义于穿孔区域。
• 分析穿孔边界上的边界条件（狄利克雷与诺伊曼）对流动行为和数值稳定性的影响。
• 研究各种多尺度有限元方法（MsFEM）变体的性能，包括基函数选择、泡函数和稳定化格式。
• 在高对流、小尺度穿孔的背景下，为采用克鲁泽-拉维特型局部基函数的 MsFEM 建立收敛性估计。
• 阐明两种边界条件制度的渐近极限，表明狄利克雷条件导致解趋于零，而诺伊曼条件在极限中保留了对流项。

提出的方法

• 通过在粗网格单元上求解局部问题来构造多尺度有限元基函数，以克鲁泽-拉维特意义下的弱连续性在单元边界上施加约束。
• 在穿孔边界上施加齐次狄利克雷或诺伊曼条件的局部问题，以模拟不同的物理行为。
• 引入泡函数以增强多尺度空间，改善高梯度区域的逼近性能。
• 采用带有双线性形式 $c_H$ 的稳定化变分格式，其中包含流线扩散和一致稳定项。
• 对局部问题采用鞍点格式以强制边界面的连续性，确保稳定性和适定性。
• 采用粗网格 $\mathcal{T}_H$，并通过求解带有源项的齐次问题的预计算局部解来定义多尺度空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在穿孔上施加狄利克雷与诺伊曼边界条件如何影响对流主导问题的渐近极限和数值稳定性？
• RQ2 在对流主导、穿孔区域中，采用克鲁泽-拉维特基函数的 MsFEM 的收敛行为如何？
• RQ3 引入泡函数和稳定化是否能提高 MsFEM 在高对流问题中的精度和鲁棒性？
• RQ4 对流场缩放 $\widehat{b}^\varepsilon = \frac{1}{\varepsilon}b(\cdot/\varepsilon)$ 的选择如何影响收敛率和解的结构？
• RQ5 具有混合边界条件的局部 MsFEM 问题适定性的理论依据是什么？

主要发现

• 在 $H^1$-半范数下，多尺度有限元解的收敛率为 $\mathcal{O}(\varepsilon(\sqrt{\varepsilon/H} + H + \sqrt{\varepsilon}))$。
• 对于穿孔上的狄利克雷问题，解 $u^\varepsilon$ 以 $\mathcal{O}(\varepsilon^2)$ 的速率衰减，其缩放极限为无对流，表明对流被强烈阻尼。
• 对于诺伊曼问题，解保持在 1 阶量级，并收敛到一个非平凡的渐近极限，该极限保留了对流场，维持了主导的流动结构。
• 采用克鲁泽-拉维特基函数可确保弱连续性和稳定性，即使在高对流区域中亦然。
• 引入泡函数和稳定化显著提升了逼近质量，特别是在边界层和穿孔附近。
• 基于泡函数 $\Phi^{\varepsilon,E}_0$ 构造的局部鞍点格式是适定的，其 inf-sup 条件通过构造得以满足。