[论文解读] Multiscale model reduction for shale gas transport in fractured media

I. Yücel Akkutlu, Yalchin Efendiev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 5被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种广义多尺度有限元方法（GMsFEM），用于模拟具有任意裂缝取向和三角形精细网格的裂缝介质中的非线性页岩气运移。通过引入自适应在线基函数，该方法在保持精度的同时显著减少了自由度，2D数值实验中表现出快速收敛，误差显著降低且计算成本大幅节省。

ABSTRACT

In this paper, we develop a multiscale model reduction technique that describes shale gas transport in fractured media. Due to the pore-scale heterogeneities and processes, we use upscaled models to describe the matrix. We follow our previous work \cite{aes14}, where we derived an upscaled model in the form of generalized nonlinear diffusion model to describe the effects of kerogen. To model the interaction between the matrix and the fractures, we use Generalized Multiscale Finite Element Method. In this approach, the matrix and the fracture interaction is modeled via local multiscale basis functions. We developed the GMsFEM and applied for linear flows with horizontal or vertical fracture orientations on a Cartesian fine grid. In this paper, we consider arbitrary fracture orientations and use triangular fine grid and developed GMsFEM for nonlinear flows. Moreover, we develop online basis function strategies to adaptively improve the convergence. The number of multiscale basis functions in each coarse region represents the degrees of freedom needed to achieve a certain error threshold. Our approach is adaptive in a sense that the multiscale basis functions can be added in the regions of interest. Numerical results for two-dimensional problem are presented to demonstrate the efficiency of proposed approach.

研究动机与目标

• 开发一种用于具有复杂孔隙尺度非均质性的裂缝介质中页岩气运移的多尺度模型降阶技术。
• 将先前的GMsFEM框架扩展至使用三角形精细网格处理非线性流动和任意裂缝取向。
• 引入在线基函数策略，自适应地在误差较高的区域增强降阶模型。
• 通过多尺度基函数将考虑干酪根和表面扩散的升尺度非线性基质模型与裂缝网络相耦合。
• 在保留细尺度效应的同时，实现自由度显著减少的高精度、高效率大规模模拟。

提出的方法

• 使用广义多尺度有限元方法（GMsFEM）构建多尺度基函数，以捕捉粗网格区域内基质与裂缝的相互作用。
• 在三角形精细网格上采用离散裂缝模型（DFM）以解析裂缝并计算快照空间和离线空间。
• 通过局部更新多尺度基函数实现非线性模型降阶，以处理基质中非线性扩散和吸附过程。
• 引入基于误差指标自适应计算的在线基函数，以在残差误差较高的区域增强降阶模型。
• 使用从代表性体积元（RVEs）中求解局部问题得到的离线基函数，每N个时间步触发一次在线增强。
• 采用加权L²和H¹误差作为收敛性度量，自适应策略基于残差误差指标实施。

实验结果

研究问题

• RQ1 GMsFEM能否扩展至处理使用三角形精细网格的裂缝介质中非线性流动和任意裂缝取向的页岩气运移？
• RQ2 在线基函数增强策略在高对比度和非均质介质的多尺度模拟中提升收敛性的有效性如何？
• RQ3 与固定离线基函数相比，自适应在线增强在降低自由度的同时保持精度的幅度有多大？
• RQ4 在2D模拟中，离线和在线基函数的数量如何影响误差和收敛速率？
• RQ5 所提出的方法能否准确捕捉具有复杂孔隙尺度过程（如克努森扩散和表面扩散）的裂缝页岩中的小尺度效应？

主要发现

• 该方法实现了显著的误差降低：L²误差从17.136（1个离线基函数）降至0.105（4个离线与在线基函数），H¹误差从68.989降至0.057。
• 当使用4个离线和在线基函数时，L²误差降至0.105，H¹误差降至0.057，仅需726个自由度，表明在计算成本极低的情况下仍保持高精度。
• 每30个时间步进行一次在线增强，其误差降低效果优于固定离线基函数，尤其在局部误差较高的区域表现更优。
• 通过在线基函数选择中的空间自适应进一步降低误差，L²误差降至0.098，H¹误差降至0.039，自由度为737。
• 收敛速度快：每30个时间步添加一次在线基函数，误差在10至20个时间步内即显著降低，显示出精度的快速提升。
• 该方法在不同裂缝取向和非线性过程中均保持高精度，证明其在复杂、非均质页岩系统中的鲁棒性。