[论文解读] Multiscale nonconvex relaxation and application to thin films

Jean‐François Babadjian, Margarida Baı́a|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2006

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 28被引用 15

一句话总结

该论文提出了一种基于Γ-收敛的多尺度非凸松弛框架，用于分析具有周期性微观结构（尺度为ε和ε²）的异质弹性材料。通过结合重复均质化与维数约化，建立了薄层的均质极限，证明了能量泛函在不需宏观变量一致连续性条件下的Γ-收敛性，将先前结果推广至非凸、多尺度情形，且仅需最小的正则性假设。

ABSTRACT

$Γ$-convergence techniques are used to give a characterization of the behavior of a family of heterogeneous multiple scale integral functionals. Periodicity, standard growth conditions and nonconvexity are assumed whereas a stronger uniform continuity with respect to the macroscopic variable, normally required in the existing literature, is avoided. An application to dimension reduction problems in reiterated homogenization of thin films is presented.

研究动机与目标

• 表征具有多个尺度ε和ε²的异质弹性材料中积分泛函的Γ-极限。
• 分析厚度按ε缩放的周期性微观结构薄层中的维数约化。
• 在不假设宏观变量一致连续性的前提下，将重复均质化推广至非凸能密度。
• 在能量密度正则性假设最小的前提下，建立薄层模型的严格变分极限。
• 通过Γ-收敛技术，将均质化与维数约化统一于同一框架中。

提出的方法

• 利用Γ-收敛分析具有周期性微观结构（尺度为ε和ε²）的能量泛函的渐近行为。
• 应用多尺度收敛与等度可积性论证，处理非凸、非光滑的被积函数。
• 采用两步均质化过程：首先在尺度ε上进行均质化，然后在尺度ε²上进行，使用下确界卷积技术。
• 通过在极限域中对周期性测试函数取下确界，提出一种新的有效能密度松弛公式。
• 通过构造恢复序列并利用等度可积性实现紧致性，建立能量序列的Γ-收敛性。
• 通过将定义域限制为2D基面并具有ε厚度，将该理论应用于薄层，结合均质化与维数约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用Γ-收敛表征具有非凸、多尺度周期性微观结构材料的有效能？
• RQ2 能否在不假设宏观变量一致连续性的条件下，将重复均质化推广至非凸被积函数？
• RQ3 具有周期性微观结构（尺度为ε和ε²）的薄层中，能量泛函的Γ-极限是什么？
• RQ4 均质化与维数约化的结合如何影响薄弹性层的有效能？
• RQ5 在被积函数缺乏强正则性假设的条件下，确保能量序列Γ-收敛的条件是什么？

主要发现

• 能量泛函的Γ-极限被表征为双重均质化过程：首先在尺度ε上，然后在尺度ε²上，且不需宏观变量一致连续性。
• 对于厚度为ε的薄层，Γ-极限为2D能量泛函，形式为2∫ω W_hom^hom(xα, ∇αu) dxα，其中W_hom^hom是通过在周期性测试函数上取下确界得到的有效能密度。
• 有效能密度W_hom^hom(xα, ξ) 表达为周期域上极限下确界的极限：limT→∞ infφ {1/(2T²) ∫(0,T)²×I W_hom(xα,y₃,yα; ξ + ∇αφ|∇₃φ) dy }。
• 均质化能W_hom(x,yα;ξ) 定义为细胞问题的极限：limT→∞ infφ {1/T³ ∫(0,T)³ W(x,yα,z₃; ξ + ∇φ) dz }，其中φ属于W₀¹ᵖ细胞。
• 在Lᵖ(Ω)拓扑下，能量序列Wε对均质化泛函W_hom的Γ-收敛性成立，且与子序列选择无关。
• 该结果在标准p增长与强制性条件下成立，即使能密度非凸且在宏观变量上不具有一致连续性。