[论文解读] Multisymplectic Theory of Balance Systems and Entropy Principle

Serge Preston|ArXiv.org|Nov 28, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文利用 Poincaré-Cartan 形式化方法，为连续介质热力学中的平衡系统构建了一个多辛几何框架，将拉格朗日场论推广至包含本构关系作为喷丛与对偶丛之间映射的情形。主要贡献在于统一了平衡系统的变分公式，包括一个针对对称性的诺特定理，以及通过理性扩展热力学（RET）中电流分量的周环性对熵原理的几何表征。

ABSTRACT

In this paper we are presenting the theory of balance equations of the Continuum Thermodynamics (balance systems) in a geometrical form using Poincare-Cartan formalism of the Multisymplectic Field Theory. A constitutive relation $\mathcal{C}$ of a balance system $B_{C}$ is realized as a mapping between a (partial) 1-jet bundle of the configurational bundle $π:Y o X$ and the dual bundle similar to the Legendre mapping of the Lagrangian Field Theory. Invariant (variational) form of the balance system $B_{C}$ is presented in three different forms and the space of admissible variations is defined and studied. Action of automorphisms of the bundle $π$ on the constitutive mappings $C$ is studied and it is shown that the symmetry group $Sym(C)$ of the constitutive relation $C$ acts on the space of solutions of the balance system $B_{C}$. Suitable version of Noether Theorem for an action of a symmetry group is presented with the usage of conventional multimomentum mapping. Finally, the geometrical (bundle) picture of the Rational Extended Thermodynamics in terms of Lagrange-Liu fields is developed and the entropy principle is shown to be equivalent to the holonomicy of the current component of the constitutive section.

研究动机与目标

• 利用多辛几何对连续介质热力学中的平衡方程进行形式化，将拉格朗日场论的变分框架加以扩展。
• 在单一几何结构中统一不同形式的不可逆热力学理论，特别是理性扩展热力学（RET）。
• 将熵原理几何化为本构截面中电流分量的周环条件。
• 为本构关系的对称性建立一个诺特型定理，将守恒律与配置丛的自同构联系起来。
• 通过广义勒让德变换和喷丛与对偶丛上的多辛形式，提供平衡系统的正则形式化。

提出的方法

• 在配置丛 $\pi: Y \to X$ 的 1-喷丛 $J^1(/pi)$ 上，利用 Poincaré-Cartan 形式化方法表述平衡系统。
• 引入一个广义勒让德变换，将 1-喷丛映射到扩展对偶丛，类似于拉格朗日力学中的勒让德映射。
• 通过从 Poincaré-Cartan 形式导出的 $\tilde{Z}$ 上的典型多辛形式 $\Omega$，定义多辛结构。
• 引入约化水平微分 $\hat{d}$，一种尊重喷丛结构并模接触形式与拉回运算可交换的修正外微分。
• 利用 $\hat{d}$-算子以三种等价形式定义平衡系统 $\mathcal{B}_\mathcal{C}$ 的不变（变分）形式：Poincaré-Cartan 形式、欧拉-拉格朗日形式以及约化水平微分形式。
• 将该理论应用于 RET，引入拉格朗日-刘对偶场，并表明熵原理对应于本构截面中电流分量的周环性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在类似于拉格朗日场论的变分、多辛框架中，对连续介质热力学中的平衡系统进行形式化？
• RQ2 本构关系 $\mathcal{C}$ 在关联状态丛与其对偶之间所起的几何作用是什么？它如何推广勒让德变换？
• RQ3 在理性扩展热力学（RET）中，熵原理如何几何体现？对本构截面的何种条件可确保其有效性？
• RQ4 配置丛 $\pi$ 的对称性如何作用于平衡系统解空间？此类对称性会产生何种守恒律？
• RQ5 $\hat{d}$-算子在定义平衡系统变分结构中的作用是什么？它与标准 de Rham 微分有何关系？

主要发现

• 本构关系 $\mathcal{C}$ 被实现为部分 1-喷丛 $J^1_K(\pi)$ 到扩展对偶丛 $\tilde{Z}$ 之间的映射，推广了勒让德映射。
• 平衡系统 $\mathcal{B}_\mathcal{C}$ 的不变形式以三种等价方式表达：Poincaré-Cartan 形式、欧拉-拉格朗日形式以及约化水平微分形式，均与多辛结构一致。
• 熵原理在几何上等价于本构截面中电流分量的周环性，即电流必须在 $\hat{d}$-算子下闭合。
• 本构关系的对称群 $\mathrm{Sym}(\mathcal{C})$ 作用于 $\mathcal{B}_\mathcal{C}$ 的解空间，且通过多动量映射建立了诺特型定理。
• $\hat{d}$-算子满足 $\hat{d}^2 = 0$，且模接触形式与拉回运算可交换，确保了在丛自同构下变分结构的一致性。
• 在 RET 中，利用拉格朗日-刘场的对偶形式表明，熵原理等价于电流分量为可积的，即 $\hat{d}$-闭合。