[论文解读] Multitime maximum principle approach of minimal submanifolds and harmonic maps

Constantin Udrişte|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Optimization and Variational Analysis参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种多时间最优性原理框架，将极小曲面和调和映射问题作为由多时间偏微分方程控制的最优控制问题来求解。通过将这些几何变分问题表述为多时间最优控制系统，作者证明了在多时间最大值原理下，极小曲面和调和映射作为最优解出现，为经典微分几何问题提供了新颖的控制理论视角。

ABSTRACT

Some optimization problems coming from the Differential Geometry, as for example, the minimal submanifolds problem and the harmonic maps problem are solved here via interior solutions of appropriate multitime optimal control problems. Section 1 underlines some science domains where appear multitime optimal control problems. Section 2 (Section 3) recalls the multitime maximum principle for optimal control problems with multiple (curvilinear) integral cost functionals and $m$-flow type constraint evolution. Section 4 shows that there exists a multitime maximum principle approach of multitime variational calculus. Section 5 (Section 6) proves that the minimal submanifolds (harmonic maps) are optimal solutions of multitime evolution PDEs in an appropriate multitime optimal control problem. Section 7 uses the multitime maximum principle to show that of all solids having a given surface area, the sphere is the one having the greatest volume. Section 8 studies the minimal area of a multitime linear flow as optimal control problem. Section 9 contains commentaries.

研究动机与目标

• 将经典微分几何问题——特别是极小曲面和调和映射——重新表述为多时间最优控制问题。
• 为使用多时间最大值原理求解微分几何中的变分问题建立理论基础。
• 证明极小曲面和调和映射问题的解满足由多时间PDE约束最优控制导出的必要最优性条件。
• 将庞特里亚金最大值原理的适用范围扩展到具有多个独立演化参数的多时间系统。
• 提供一种新的分析框架，通过多时间动力学将几何变分问题与最优控制理论统一起来。

提出的方法

• 在多维时间域 Ω₀ₜ₀ 上，构建具有多个积分型性能指标和 m-流类型PDE约束的多时间最优控制问题。
• 利用哈密顿函数 H(t, x, u, p) = L + pᵢᵅXⁱᵅ 应用多时间最大值原理，其中 p 为协态向量，Xⁱᵅ 为满足完全可积性条件的向量场。
• 推导必要最优性条件：协态动力学 ∂pᵢᵅ/∂tᵅ = -∂H/∂xⁱ，状态动力学 ∂xⁱ/∂tᵅ = ∂H/∂pᵢᵅ，边界上的横截性条件，以及控制最优性 Hᵤₐ = 0。
• 应用多时间全局最大性定理：若哈密顿函数在控制变量上为凹函数，则解为全局最优。
• 将该框架应用于具体几何问题，包括等周问题（球面在固定表面积下最大化体积）和多时间线性流的最小面积问题。
• 通过从黎曼几何和控制动力学在切丛 TM 上导出的哈密顿1-形式，分析切丛中 m-曲面的面积。

实验结果

研究问题

• RQ1 极小曲面能否被表征为多时间最优控制问题的最优解？
• RQ2 调和映射能否作为多时间PDE约束最优控制系统的解推导得出？
• RQ3 多时间最大值原理如何将经典最优控制扩展至具有多个独立时间参数的系统？
• RQ4 完全可积性条件在确保多时间状态轨迹存在性方面起什么作用？
• RQ5 能否通过多时间最优控制推导出等周不等式（即球面在固定表面积下最大化体积）？

主要发现

• 证明了极小曲面是受 m-流类型PDE控制的多时间最优控制问题的最优解，且满足多时间最大值原理。
• 证明了调和映射是具有 m-流约束的适当多时间最优控制问题的最优解。
• 识别出球面为在所有表面积固定的立体中体积最大化的最优解，该结果通过多时间最大值原理推导得出。
• 多时间线性流的最小面积被表征为具有有界控制的多时间最优控制问题的解。
• 在切丛上面积最大化问题的最优控制被证明为时间切换型（bang-bang）控制，其控制根据切换函数 Mₐ(t) 在 ±1 之间切换。
• 在面积最大化问题中，哈密顿1-形式关于控制变量为线性，当控制有界时，导致最优控制呈现不连续性（即时间切换型控制）。