[论文解读] Mustafin varieties, moduli spaces and tropical geometry

Marvin Anas Hahn, Binglin Li|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于有理映射和热带几何的新组合框架，用于研究Mustafin簇，实现了对其特殊纤维中不可约分支的完整分类。研究证明，多视角簇作为Mustafin特殊纤维的分支出现，并通过简单点将它们与关联格拉斯曼簇联系起来，同时表明Mustafin簇实现了单位性Shimura簇在r=1时的标准局部模型。

ABSTRACT

Mustafin varieties are flat degenerations of projective spaces, induced by a choice of an $n-$tuple of lattices in a vector space over a non-archimedean field. They were introduced by Mustafin in the 70s in order to generalise Mumford's groundbreaking work on the unformisation of curves to higher dimension. These varieties have a rich combinatorial structure as can be seen in pioneering work of Cartwright, Häbich, Sturmfels and Werner. In this paper, we introduce a new approach to Mustafin varieties in terms of images of rational maps, which were studied by Li. Applying tropical intersection theory and tropical convex hull computations, we use this method to give a new combinatorial description of the irreducible components of the special fibers of Mustafin varieties. This enables connections to various topics. In particular, we see that any multiview variety appears as an irreducible component of the special fiber of some Mustafin variety. Furthermore, we use an interpretation of Mustafin varieties as a moduli functor introduced by Faltings to relate them to certain moduli functors, called linked Grassmannians. These objects are featured in limit linear series theory. The focal point of study regarding linked Grassmannians are so-called extit{simple points}. As a direct consequence of the new combinatorial description of Mustafin varieties, we prove that the simple points of linked Grassmannians are dense in every fiber. Finally, we use the connection to linked Grassmannians, to relate the special fibers of Mustafin varieties to certain local models of unitary Shimura varieties.

研究动机与目标

• 通过热带几何，为Mustafin簇特殊纤维的不可约分支提供一种新的组合描述。
• 通过证明多视角簇作为特殊纤维的不可约分支出现，建立Mustafin簇与多视角几何之间的联系。
• 通过模形式解释，特别聚焦于简单点，将Mustafin簇与关联格拉斯曼簇联系起来。
• 将Mustafin簇与单位性Shimulatora簇的局部模型联系起来，证明当r=1时，标准局部模型$M^{\text{loc}}$与一个Mustafin簇同构。
• 利用新组合框架证明关联格拉斯曼簇中简单点的集合在每个纤维中都是稠密的。

提出的方法

• 使用从射影空间到射影空间乘积的有理映射的像，在离散赋值环上构造Mustafin簇。
• 应用热带交集理论与热带凸包计算，分析特殊纤维的结构。
• 将特殊纤维建模为有理映射像的闭包，目标空间为剩余域上射影空间的乘积。
• 通过Bruhat-Tits建筑中格点类的热带凸包刻画不可约分支。
• 建立关联格拉斯曼簇中简单点与从$\mathbb{P}_{k}^{d-1}$到射影空间乘积的有理映射像之间的对应关系。
• 证明单位性Shimura簇的标准局部模型$M^{\text{loc}}$（当$r=1$时）通过格点配置$\Gamma$与Mustafin簇同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过组合方法对Mustafin簇特殊纤维的不可约分支进行分类？
• RQ2 计算机视觉中的多视角簇以何种方式作为Mustafin特殊纤维的分支出现？
• RQ3 Mustafin簇与关联格拉斯曼簇之间的确切关系是什么，特别是从简单点的角度？
• RQ4 Mustafin簇如何与单位性Shimura簇的局部模型相关联？
• RQ5 关联格拉斯曼簇中简单点的集合在每个纤维中是否都是稠密的？

主要发现

• Mustafin簇的特殊纤维是有理映射从$\mathbb{P}_{k}^{d-1}$到剩余域上射影空间乘积的像的闭包。
• 根据[AST13]定义的每个多视角簇都作为某个Mustafin簇特殊纤维的不可约分支出现。
• 通过将它们表示为有理映射像的闭包（其闭包构成特殊纤维），证明关联格拉斯曼簇中简单点的集合在每个纤维中都是稠密的。
• 当$r=1$时，单位性Shimura簇的标准局部模型$M^{\text{loc}}$与一个由特定配置$\Gamma = \{L_0, \dots, L_{d-1}\}$构造的Mustafin簇同构。
• Mustafin簇$\mathcal{M}(\Gamma)$的特殊纤维等于关联格拉斯曼簇$\mathrm{LG}(1,\Gamma)$中简单点集合的闭包，即$\overline{\mathrm{Simp}(\Gamma)} = \mathcal{M}(\Gamma)_k$。
• 该构造通过Mustafin框架为$r=1$时局部模型$M^{\text{loc}}$的平凡性与平坦性提供了新证明。