[论文解读] n-Dimensional global correspondences of Langlands over singular schemes (II)

Christian Pierre|ArXiv.org|Jun 14, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 31被引用 5

一句话总结

该论文通过在可微（双）函数层的双线性代数半群背景下，分析奇点的普遍形变、爆破及单值变换，将n维全局朗兰兹对应关系推广至奇异概形。通过藤田紧化与奇点解析，建立了不可约的陈数表示，并在复与实设定下，通过谱对应关联了全纯形式与陈数形式。

ABSTRACT

A rather complete phenomenology of the singularities is developed according to a new algebraic point of view in the frame of Langlands global correspondences. That is to say,a process of: -singularizations and versal deformations of these, -singularizations and monodromies of these, is envisaged on all the sections of sheaves of differentiable (bi)functions on (bi)linear algebraic (semi)groups constituting the n-dimensional representations of the global Weil groups. To get the searched holomorphic and cuspidal representations,it is necessary to consider: -the resolutions of the singularities and the blowups of the versal deformations; -the resolutions of the singularities in the monodromy cases. Furthermore, the geometry of the versal deformations and of their blowups is studied, as well as the associated dynamics leading to the consideration of singular hyperbolic attractors and of singular strange attractors.

研究动机与目标

• 开发奇异概形上n维全局朗兰兹对应关系中奇点的物理学现象学。
• 将朗兰兹对应关系扩展至可微（双）函数层在双线性代数半群上表现出奇点、形变与爆破的情形。
• 通过奇点解析与全局韦伊群表示中单值变换的分析，构造全纯与陈数表示。
• 研究普遍形变及其爆破的几何结构，识别相关动力系统中奇异双曲吸引子与奇异吸引子。

提出的方法

• 分析奇异概形上n维全局韦伊群表示的可微（双）函数层的奇异化与普遍形变。
• 利用伽罗瓦反自同态与展开同构，对普遍形变进行奇点解析与爆破。
• 在扩展阶段研究单值变换，以从奇异概形生成非奇异纤维。
• 通过GL₂(F_T^ω × F_T^ω)的藤田紧化，利用单值双层层构造陈数表示。
• 通过阿贝尔化韦伊群不可约表示与陈数形式之间的同构，建立不可约朗兰兹对应。
• 利用谱映射τ^tor_ℂ，将双层的全纯截面与Eisenstein级数EIS_R×L(1,j,m_j)及其单值对应物联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过奇点及其形变的分析，将全局朗兰兹对应关系推广至奇异概形？
• RQ2 普遍形变的爆破在奇点存在下对恢复全纯与陈数表示起到何种作用？
• RQ3 奇异概形上的单值变换如何生成非奇异纤维，并与陈数形式相关联？
• RQ4 普遍形变及其爆破所引致的奇异双曲与奇异吸引子在几何与动力学上具有何种意义？
• RQ5 双线性代数半群的藤田紧化如何在朗兰兹框架下导致不可约陈数表示？

主要发现

• 不可约陈数表示Irr_cusp(θ^ℂ_tor)同构于Eisenstein级数EIS_R×L(1,j,m_j)，通过藤田谱映射τ^tor_ℂ建立。
• 单值双层层θ^ℂ_mon通过与基双层层的同构，生成陈数表示EIS^mon_R×L(1,j,m_j)_b。
• 奇点解析与普遍形变的爆破恢复了全纯与陈数结构，使奇异概形上的朗兰兹对应成为可能。
• 普遍形变及其爆破的几何结构导致相关动力系统中奇异双曲与奇异吸引子的出现。
• 该对应关系在复与实设定下均成立：θ^ℂ_GL₂(F_ω×F_ω)与θ^ℝ_GL₂(F^+_v×F^+_v)通过τ^tor_ℂ生成不可约陈数形式。
• 谱映射τ^tor_ℂ将全纯截面f_ω(z_m)⊗f_ω(z_m^*)转化为Eisenstein级数，证实了紧化设定下的朗兰兹对应。