[论文解读] (n,m)-Strongly Gorenstein Projective Modules

Driss Bennis|ArXiv.org|Jul 11, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文引入并研究了$(n,m)$-强戈伦斯坦投影模，这是一种双重过滤的模类，推广了强戈伦斯坦投影模。它证明了模的戈伦斯坦投影维数至多为$m$当且仅当存在某个戈伦斯坦投影模$G$，使得$M \oplus G$是$(1,m)$-SG-投影模，并且证明了在左有限型平坦维数有限的环上，有限戈伦斯坦投影维数与有限平坦维数共同蕴含有限投射维数。

ABSTRACT

This paper is a continuation of the papers J. Pure Appl. Algebra, 210 (2007), 437--445 and J. Algebra Appl., 8 (2009), 219--227. Namely, we introduce and study a doubly filtered set of classes of modules of finite Gorenstein projective dimension, which are called $(n,m)$-strongly Gorenstein projective ($(n,m)$-SG-projective for short) for integers $n\geq 1$ and $m\geq 0$. We are mainly interested in studying syzygies of these modules. As consequences, we show that a module $M$ has Gorenstein projective dimension at most $m$ if and only if $M\oplus G$ is $(1,m)$-SG-projective for some Gorenstein projective module $G$. And, over rings of finite left finitistic flat dimension, that a module of finite Gorenstein projective dimension has finite projective dimension if and only if it has finite flat dimension.

研究动机与目标

• 引入并系统研究$(n,m)$-强戈伦斯坦投影模类，作为$n$-SG-投影模的推广。
• 通过与戈伦斯坦投影模的直和的$(1,m)$-SG-投影性，刻画有限戈伦斯坦投影维数的模。
• 研究有限戈伦斯坦投影维数模的有限平坦维数与有限投射维数之间的关系。
• 将$n$-SG-投影模的结果扩展到更广泛的$(n,m)$-框架，特别是与有限型平坦维数的关系。

提出的方法

• 本文将$(n,m)$-SG-投影模定义为其中第$m$个挠模是$n$-SG-投影模的模，利用在投射模上具有消失的$\operatorname{Ext}$-群的投射模的正合列。
• 它采用完全投射分解，并利用戈伦斯坦投影模可表为强戈伦斯坦投影模的直和项的特征。
• 证明策略依赖于通过组合$M$和一个戈伦斯坦投影模$G'$的分解来构造正合列，然后分析挠模。
• 它应用先前研究（例如[3]、[4]）中关于$n$-SG-投影模的已知结果，并通过归纳法和维数比较加以扩展。
• 本文利用环的有限型平坦维数来界定挠模的平坦维数，从而推导出有限投射维数。
• 通过指出大多数$(n,m)$-SG-投影模的结果在$(n,m)$-SG-内射模中具有对偶版本，建立对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下模$M$的戈伦斯坦投影维数至多为$m$？
• RQ2 模$M$的戈伦斯坦投影维数$\leq m$与存在某个戈伦斯坦投影模$G$使得$M \oplus G$是$(1,m)$-SG-投影模之间的确切关系是什么？
• RQ3 在什么条件下，具有有限戈伦斯坦投影维数和有限平坦维数的模必然具有有限投射维数？
• RQ4 $(n,m)$-SG-投影模的性质如何推广$n$-SG-投影模的性质？
• RQ5 有限型平坦维数在控制具有有限戈伦斯坦投影维数的模的投射维数方面起什么作用？

主要发现

• 模$M$的戈伦斯坦投影维数至多为$m$当且仅当存在某个戈伦斯坦投影模$G$，使得$M \oplus G$是$(1,m)$-SG-投影模，从而建立了完全的刻画。
• 在左有限型平坦维数有限的环上，具有有限戈伦斯坦投影维数的模具有有限投射维数当且仅当它具有有限平坦维数。
• $(n,m)$-SG-投影模的第$m$个挠模是$(n,0)$-SG-投影模，若此类模具有有限平坦维数，则其为投射模。
• $(n,m)$-SG-投影模类是$n$-SG-投影模的自然推广，其具有以$n$和$m$为索引的明确定义的层级结构。
• $(n,m)$-SG-投影模的结果具有对偶版本的$(n,m)$-SG-内射模，但不包括推论2.9和命题2.10。
• 通过分解和直和的构造，可将戈伦斯坦投影模的性质传递到更广泛的$(n,m)$-SG-投影模类中。