[论文解读] N-manifolds of degree 2 and metric double vector bundles

Madeleine Jotz|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 15

一句话总结

本文建立了度数为2的N-流形与度量双重向量丛之间的范畴等价，表明度数为2的分裂泊松N-流形等价于同伦意义下的自对偶表示。进一步证明了通过拉格朗日分解，李2-代数胚与VB-考伦特代数胚之间存在范畴等价，并引入了多尔曼2-表示及其对偶的新刻画。

ABSTRACT

This paper shows the equivalence of the categories of $N$-manifolds of degree $2$ with the category of double vector bundles endowed with a linear metric. Split Poisson $N$-manifolds of degree $2$ are shown to be equivalent to self-dual representations up to homotopy. As a consequence, the equivalence above induces an equivalence between so called metric VB-algebroids and Poisson $N$-manifolds of degree $2$. Then a new description of split Lie $2$-algebroids is given, as well as their "duals", the Dorfman $2$-representations. We show that Dorfman $2$-representations are equivalent in a simple manner to Lagrangian splittings of VB-Courant algebroids. This yields the equivalence of the categories of Lie $2$-algebroids and of VB-Courant algebroids. We give several natural classes of examples of split Lie $2$-algebroids and of the corresponding VB-Courant algebroids. We then show that a split Poisson Lie $2$-algebroid is equivalent to the "matched pair" of a Dorfman $2$-representation with a self-dual representation up to homotopy. We deduce a new proof of the equivalence of categories of LA-Courant algebroids and Poisson Lie $2$-algebroids. We show that the core of an LA-Courant algebroid inherits naturally the structure of a degenerate Courant algebroid. This yields a new formula to retrieve in a direct manner the Courant algebroid found by Roytenberg to correspond to a symplectic Lie $2$-algebroid. Finally we study VB- and LA-Dirac structures in VB- and LA-Courant algebroids. As an application, we extend Li-Bland's results on pseudo-Dirac structures and we construct a Manin pair associated to an LA-Dirac structure.

研究动机与目标

• 建立度数为2的N-流形与度量双重向量丛之间的范畴等价。
• 证明度数为2的分裂泊松N-流形等价于同伦意义下的自对偶表示。
• 为分裂李2-代数胚及其对偶——多尔曼2-表示提供新的刻画。
• 证明李2-代数胚与VB-考伦特代数胚之间的范畴等价。
• 表明LA-考伦特代数胚的余核自然继承一个退化的考伦特代数胚结构，作为泊松括号与多尔曼联络的双交叉积。

提出的方法

• 在度量双重向量丛（MDVB）范畴与[2]-流形范畴之间构造函子，证明其为全满且本质本质满射，从而确立范畴等价。
• 利用度量双重向量丛的拉格朗日分解来定义多尔曼2-表示，并将其与VB-代数胚联系起来。
• 应用2-表示的匹配对概念来描述分裂泊松李2-代数胚。
• 利用VB-代数胚的对偶化及同伦意义下表示的概念，将度量VB-代数胚与泊松结构联系起来。
• 引入肥大考伦特代数胚构造，将VB-考伦特代数胚与多尔曼2-表示联系起来。
• 利用LA-考伦特代数胚的余核，通过泊松括号与多尔曼联络的双交叉积，推导出一个退化的考伦特代数胚结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 度数为2的N-流形与度量双重向量丛之间有何关系？
• RQ2 分裂泊松N-流形的度数为2与自对偶2-表示在同伦意义下的范畴等价关系是什么？
• RQ3 多尔曼2-表示与VB-考伦特代数胚的拉格朗日分解之间有何关系？
• RQ4 李2-代数胚与VB-考伦特代数胚之间存在何种关系？
• RQ5 LA-考伦特代数胚的余核如何继承一个退化的考伦特代数胚结构？

主要发现

• 在度量双重向量丛范畴与[2]-流形范畴之间存在一个全满且本质本质满射的函子，从而确立了范畴等价。
• 度数为2的分裂泊松N-流形等价于同伦意义下的自对偶表示，为这类结构提供了新的刻画。
• 多尔曼2-表示等价于VB-考伦特代数胚的拉格朗日分解，提供了新的几何解释。
• 通过肥大考伦特代数胚的构造，李2-代数胚范畴与VB-考伦特代数胚范畴之间存在等价。
• LA-考伦特代数胚的余核自然携带一个退化的考伦特代数胚结构，其表现为泊松括号与多尔曼联络的双交叉积。
• 推导出一个新公式，可直接从匹配对结构重构与辛李2-代数胚对应的考伦特代数胚。