[论文解读] n-Relative Categories

Clark Barwick, D Kan|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文引入了 $n$-相对范畴作为 $n$-重同伦理论——即同伦理论的同伦理论的迭代——的组合模型。通过 $n$-单纯形的同伦单子函子，建立了 $n$-相对范畴范畴与 $n$-单纯空间上的 Rezk 模型结构之间的 Quillen 等价性，从而将经典范畴与单纯集之间的同伦单子对应关系推广到更高同伦层次。

ABSTRACT

We introduce, for every positive integer n, the notion of an n-relative category and show that the category of the small n-relative categories is a model for the homotopy theory of n-fold homotopy theories, i.e. homotopy theories of ... of homotopy theories.

研究动机与目标

• 开发 $n$-重同伦理论（即同伦理论的同伦理论……的迭代，共 $n$ 次）的组合模型。
• 将用于通过单纯同伦单子函子构建同伦理论模型的相对范畴概念推广到更高层次，以捕捉 $n$-重同伦结构。
• 在 $n$-相对范畴范畴与 $n$-单纯空间上的 Rezk 模型结构之间建立 Quillen 等价性，将经典同伦单子对应关系推广至更高维。
• 通过在 $n$-相对范畴上使用迭代的箭头范畴与 Grothendieck 构造，提供一个用于高阶同伦理论的系统性框架。

提出的方法

• 将 $n$-相对范畴定义为配备 $n$ 个嵌套的弱等价子范畴的范畴，每个子范畴对前一个进行细化，从而形成 $n$-重弱等价的层级结构。
• 定义 $n$-单纯形同伦单子函子 $N: \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat} \to \mathrm{s}^n\boldsymbol{S}$，将 $n$-相对范畴映射到 $n$-单纯空间。
• 构造一个左伴随函子 $K: \mathrm{s}^n\boldsymbol{S} \to \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$，称为 $n$-单形的相对范畴，作为同伦单子函子的同伦逆。
• 为每个 $T \in \boldsymbol{T}$ 定义箭头范畴 $\boldsymbol{C}^T(X,Y)$，以捕捉在 $n$ 个弱等价层级之间穿越的 zigzag 映射。
• 通过 Grothendieck 构造 $\operatorname{Gr}\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{T})}(X,Y)$，将这些箭头范畴整合为一个单一的 $n$-相对范畴，以编码更高阶的同伦数据。
• 利用所得的 Grothendieck 丰富结构，定义一个高阶范畴结构，以建模 $n$-重同伦理论的同伦理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对范畴的概念能否被推广以建模 $n$-重同伦理论，即同伦理论的同伦理论的迭代？
• RQ2 是否存在 $n$-相对范畴范畴与 $n$-单纯空间上的 Rezk 模型结构之间的 Quillen 等价性？
• RQ3 能否证明从 $n$-相对范畴到 $n$-单纯空间的单纯同伦单子函子是一个相对范畴之间的同伦等价，且其同伦逆由 $n$-单形的相对范畴函子 $K: \mathrm{s}^n\boldsymbol{S} \to \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$ 给出？
• RQ4 如何通过迭代箭头范畴与 Grothendieck 构造，以组合方式编码更高阶同伦结构？
• RQ5 有限全序集的范畴 $\boldsymbol{T}$ 在组织 $n$-重弱等价结构中扮演什么角色？

主要发现

• 小 $n$-相对范畴的范畴 $\mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$ 装备有模型结构，且与 $n$-单纯空间的范畴 $\mathrm{s}^n\boldsymbol{S}$ 上的 Rezk 模型结构 Quillen 等价。
• $n$-单纯形同伦单子函子 $N: \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat} \to \mathrm{s}^n\boldsymbol{S}$ 是一个 Quillen 等价，其同伦逆由 $n$-单形的相对范畴函子 $K: \mathrm{s}^n\boldsymbol{S} \to \mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$ 给出。
• 同伦单子函子在相对范畴 $(\mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}, \mathbf{Rk})$ 与 $(\mathrm{s}^n\boldsymbol{S}, \mathbf{Rk})$ 之间诱导出同伦等价，其中 $\mathbf{Rk}$ 表示 Rezk 等价的子范畴。
• 对箭头范畴 $\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{T})}(X,Y)$ 的 $\boldsymbol{T}$-图的 Grothendieck 构造产生一个 $n$-相对范畴 $\operatorname{Gr}\boldsymbol{C}^{(\boldsymbol{T})}(X,Y)$，其编码了所有穿越 $n$ 个弱等价层级的 zigzag 映射。
• Grothendieck 构造为 $\mathbf{Rel}^{n+1}\mathbf{Cat}$ 赋予了 $\mathbf{Rel}^n\mathbf{Cat}$ 上的自然丰富结构，从而提供一个建模 $n$-重同伦数据的高阶范畴结构。
• 整个框架推广了 Thomason 的同伦单子定理及其 Latch 的简化形式至更高阶同伦层次，为 $n$-重同伦理论提供了系统且组合可处理的模型。