[论文解读] Nakano positivity of singular Hermitian metrics and vanishing theorems of Demailly-Nadel-Nakano type

Takahiro Inayama|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过 $L^2$-估计引入了全纯向量丛上奇异 Hermitian 度量的 Nakano 半正性新定义，推广了 Demailly-Nadel 和 Nakano 的消去定理。该文建立了全局 Nakano 半正性度量的 $L^2$-估计与消去定理，并通过 $L^2$ 度量构造法证明了其在对称幂丛与相对 canonical 丛等各类丛上的存在性。

ABSTRACT

In this article, we propose a definition of Nakano semi-positivity of singular Hermitian metrics on holomorphic vector bundles. By using this positivity notion, we establish $L^2$-estimates for holomorphic vector bundles with Nakano positive singular Hermitian metrics. We also show vanishing theorems, which generalize both Nakano type and Demailly-Nadel type vanishing theorems. As applications, we specifically construct globally Nakano semi-positive singular Hermitian metrics for several bundles, and prove vanishing theorems associated with them.

研究动机与目标

• 为全纯向量丛上的奇异 Hermitian 度量定义 Nakano 半正性，且不依赖于曲率电流。
• 为全局 Nakano 半正性奇异 Hermitian 度量建立 $L^2$-估计与消去定理。
• 在奇异情形下推广 Demailly-Nadel 与 Nakano 型消去定理。
• 在如 $S^mE \otimes \det E$ 等丛上构造全局 Nakano 半正性奇异 Hermitian 度量的显式例子。
• 解决奇异情形下正性条件的正则化、等价性以及全局与局部定义之间关系等基础问题。

提出的方法

• 基于前期工作中的最优 $L^2$-估计，引入基于全局 $L^2$-估计条件的定义，通过 $\bar{\partial}$-方程解的存在性（其 $L^2$-范数受控）来定义全局 Nakano 半正性。
• 利用曲率算子 $B_{\omega_\Omega,\psi} = [\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\psi \otimes \mathrm{id}_E, \Lambda_{\omega_\Omega}]$，通过 $L^2$-估计来刻画正性。
• 将 $L^2$-估计条件应用于 $S^mE \otimes \det E$ 上的全局 Nakano 半正性度量构造，方法为从射影丛上拉回 $L^2$ 度量。
• 通过构造 Kähler 度量 $\omega_X$ 的势函数 $\varphi_U$，并利用 $\widehat{h} e^{\delta/m \pi^*\varphi_U}$ 的正性，在射影流形上建立严格 Nakano $\delta_{\omega_X}$-正性。
• 将 $L^2$-估计结果应用于证明在 Nakano 正性假设下 $H^q(X, \Omega^n \otimes E \otimes \mathcal{I}(h))$ 的消去定理。
• 利用同构 $\pi_* (K_{\mathbb{P}(E)/X} \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}(E)}(r+m)) \cong S^mE \otimes \det E$，将射影丛上的正性传递至基丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在多圆柱上的平凡丛上，是否存在全局 Nakano 半正性奇异 Hermitian 度量，可被具有 Nakano 正曲率的光滑度量逼近？
• RQ2 对于严格 Nakano 正性奇异 Hermitian 度量，$L^2$-估计与消去定理是否可推广至弱拟凸复流形？
• RQ3 在定义 1.1 意义下的 Nakano 半正性是否蕴含 Griffiths 半正性，而无需事先假设？
• RQ4 对于奇异 Hermitian 度量，$n$ 个条件 $\{ (2-k) \}_{1 \leq k \leq n}$ 是否等价，如同光滑度量情形一样？
• RQ5 对于奇异 Hermitian 度量，全局与局部 Nakano 半正性是否等价？

主要发现

• 本文通过 $L^2$-估计定义了奇异 Hermitian 度量的全局与局部 Nakano 半正性，避免了曲率电流的问题。
• 当 $h$ 为 Griffiths 半正性时，$h \otimes \det h$ 在 $E \otimes \det E$ 上为全局 Nakano 半正性。
• 对于固定 Kähler 度量 $\omega_X$ 的射影流形，本文通过 $\mathbb{P}(E)$ 上的 $L^2$ 度量构造了 $S^mE \otimes \det E$ 上的全局严格 Nakano $\delta_{\omega_X}$-正性度量。
• 在 Zariski 开子集上，$S^mE \otimes \det E$ 上的度量 $h_m$ 光滑且全局严格 Nakano $\delta_{\omega_X}$-正性，从而蕴含 $L^2$-估计与消去定理。
• 在全局 Nakano 半正性假设下，$H^q(X, \Omega^n \otimes E \otimes \mathcal{I}(h))$ 的消去定理成立，推广了 Demailly-Nadel 与 Nakano 的结果。
• 全局与局部 Nakano 半正性是否等价尚为开放问题，但若 Nakano 半正性度量可正则化，则该等价性可推出。