[论文解读] Naturally reductive pseudo-Riemannian Lie groups in low dimensions

Viviana del Barco, Gabriela P. Ovando+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 6

一句话总结

该论文证明，在3维海森堡群 H₃(ℝ) 上，一个左不变的洛伦兹度量是自然约化的，当且仅当其中心是非退化的，且此类度量为代数 Ricci 孤子。研究构建了具有双不变度量的可解4维李群的同构群，并表明这些群在 H₃(ℝ) 上作用等距，从而通过高维群上的双不变度量，为自然约化结构提供了几何实现。

ABSTRACT

This work concerns the non-flat metrics on the Heisenberg Lie group of dimension three $\Heis_3(\RR)$ and the bi-invariant metrics on the solvable Lie groups of dimension four. On $\Heis_3(\RR)$ we prove that the property of the metric being naturally reductive is equivalent to the property of the center being non-degenerate. These metrics are Lorentzian algebraic Ricci solitons. We start with the indecomposable Lie groups of dimension four admitting bi-invariant metrics and which act on $\Heis_3(\RR)$ by isometries and we finally study some geometrical features on these spaces.

研究动机与目标

• 表征3维海森堡群 H₃(ℝ) 上的自然约化左不变洛伦兹度量。
• 证明此类度量的非平坦性、中心的非退化性与自然约化性之间的等价性。
• 构建配备双不变度量的4维可解李群 G₀ 和 G₁ 的同构群。
• 建立这些4维群与它们在 H₃(ℝ) 上的等距作用之间的几何联系。
• 证明 H₃(ℝ) 上非平坦且自然约化的度量为代数 Ricci 孤子。

提出的方法

• 利用至多4维的李代数上的 ad-不变度量，对可能的同构群进行分类。
• 应用通过条件 (i) 保持度量和 (ii) 保持李括号结构来表征线性同构的方法。
• 构造具有双不变度量的单连通可解4维李群 G₀ 和 G₁ 的同构群 F(G)。
• 推导满足度量和括号保持条件的线性同构的矩阵形式。
• 利用任一自然约化伪黎曼空间均允许一个具有双不变度量的李群进行传递等距作用的事实。
• 显式计算同构群，其形式为 O(2) 或 O(1,1) 与符号选择及 R² 中平移的半直积。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么特征刻画了海森堡群 H₃(ℝ) 上的自然约化左不变洛伦兹度量？
• RQ2 此类度量的中心非退化性是否等价于自然约化性？
• RQ3 配备双不变度量的4维可解李群的同构群是什么？
• RQ4 这些4维群如何在 H₃(ℝ) 上实现等距作用？
• RQ5 H₃(ℝ) 上非平坦且自然约化的度量是否为代数 Ricci 孤子？

主要发现

• H₃(ℝ) 上的左不变洛伦兹度量是自然约化的，当且仅当其中心是非退化的。
• H₃(ℝ) 上的左不变洛伦兹度量分为三类：一类是平坦的（中心退化），另两类是非平坦且自然约化的（中心非退化）。
• 配备双不变度量的4维可解李群 G₀ 的同构群 F(G₀) 同构于 ({1, -1} × O(2)) ⋉ R²。
• 配备双不变度量的4维可解李群 G₁ 的同构群 F(G₁) 同构于 ({1, -1} × O(1,1)) ⋉ R²。
• H₃(ℝ) 上非平坦且自然约化的度量是代数 Ricci 孤子。
• 对于 G₀ 和 G₁，F(G) 的单位连通分支与内自同构群一致，即 G 的伴随表示。