[论文解读] Near NP-Completeness for Detecting p-adic Rational Roots in One Variable

Martín Avendaño, Ashraf Ibrahim+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2010

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 21被引用 3

一句话总结

该论文证明了对于大多数输入，检测稀疏一元多项式中的p进有理根问题属于NP，且为具有通用p进Newton多边形的三项式提供了多项式时间算法，优于先前的EXPTIME上界。此外，论文在随机化归约下证明了NP难性，首次为该问题提供了无条件的复杂度下界。

ABSTRACT

We show that deciding whether a sparse univariate polynomial has a p-adic rational root can be done in NP for most inputs. We also prove a polynomial-time upper bound for trinomials with suitably generic p-adic Newton polygon. We thus improve the best previous complexity upper bound of EXPTIME. We also prove an unconditional complexity lower bound of NP-hardness with respect to randomized reductions for general univariate polynomials. The best previous lower bound assumed an unproved hypothesis on the distribution of primes in arithmetic progression. We also discuss how our results complement analogous results over the real numbers.

研究动机与目标

• 填补此前仅具有EXPTIME上界的一元多项式中p进有理根检测问题的复杂度差距。
• 通过证明该问题在大多数输入下属于NP，特别是对于具有通用Newton多边形的三项式，从而建立更紧致的复杂度界限。
• 在随机化归约下证明无条件的NP难性结果，消除对未证明的数论假设的依赖。
• 将实代数几何中的算法结果扩展并平行应用于p进设置，特别是针对稀疏多项式。
• 通过Hensel引理和模根提升构造基于证书的决策过程，实现对p进根的高效验证。

提出的方法

• 使用Hensel引理将模$p^\ell$的根提升，其中$\ell = 4 \cdot \mathrm{size}(f)$，确保$\mathbb{Z}_p$中存在根当且仅当模$p^\ell$存在根。
• 采用大小为$\mathrm{size}(f)$的多项式级别的证书，由模$p^\ell$的根构成，将问题置于NP中。
• 应用$p$-进Newton多边形来刻画根的结构，并识别判别式$\mathcal{D}_\mathcal{A}(f)$为零的情况。
• 利用平方递归和高效的$\mathbb{F}_p$算术，测试$p$是否整除判别式$\mathcal{D}_\mathcal{A}(f)$，从而确定证书是否适用。
• 通过代数数论和分圆多项式性质，构造从3CNFSAT到$\texttt{FEAS}_{\mathbb{Q}_{\text{primes}}}$的随机化多项式时间归约。
• 在Wagstaff猜想下，用暴力搜索替代随机化归约，实现确定性的NP难性，避免对随机性的依赖。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将一元多项式中p进有理根检测的复杂度从EXPTIME改进为NP？
• RQ2 在Newton多边形满足何种条件下，该问题可获得多项式时间解法？
• RQ3 该问题是否无条件地为NP难？还是依赖于未证明的数论假设？
• RQ4 p进根检测的复杂度界限与实数域上的情况相比如何，特别是在稀疏多项式设置下？
• RQ5 能否利用模提升和判别式条件，构造出p进根的简洁证书？

主要发现

• 问题$\texttt{FEAS}_{\mathbb{Q}_{\text{primes}}}(\mathbb{Z}[x_1] \times \mathbb{P})$在大多数输入下属于NP，特别是当$p \nmid \mathcal{D}_\mathcal{A}(f)$时，该条件对密度为1的输入成立。
• 对于具有通用$p$-进Newton多边形的三项式，该问题可在多项式时间内求解，优于先前的EXPTIME上界。
• 在随机化归约下，该问题为NP难，首次为该问题提供了无条件的下界，无需依赖关于等差数列中素数的未证明假设。
• p进有理根的证书由模$p^\ell$的根构成，其中$\ell = 4 \cdot \mathrm{size}(f)$，且可在多项式时间内验证。
• 从3CNFSAT到$p$-进可行性问题的归约使用了一系列涉及分圆多项式和AGP定理的代数归约，建立了随机化NP难性。
• 在Wagstaff猜想下，通过用暴力搜索替代随机化归约，可将NP难性结果变为确定性，同时保持多项式复杂度。