[论文解读] Nearly optimal separations between communication (or query) complexity and partitions

Robin Kothari|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用 21

一句话总结

该论文通过作弊信封框架，构建了确定性通信复杂度与查询复杂度分别为对数分区数或子立方体划分复杂度的二次方的函数，实现了通信/查询复杂度与划分度量之间的近乎最优分离。该研究解决了复杂性理论中长期存在的开放问题，实现了确定性通信复杂度与对数分区数之间的近乎二次分离，以及量子查询复杂度与子立方体划分复杂度之间的近乎二次分离。

ABSTRACT

We show a nearly quadratic separation between deterministic communication complexity and the logarithm of the partition number, which is essentially optimal. This improves upon a recent power 1.5 separation of Göös, Pitassi, and Watson (FOCS 2015). In query complexity, we establish a nearly quadratic separation between deterministic (and even randomized) query complexity and subcube partition complexity, which is also essentially optimal. We also establish a nearly power 1.5 separation between quantum query complexity and subcube partition complexity, the first superlinear separation between the two measures. Lastly, we show a quadratic separation between quantum query complexity and one-sided subcube partition complexity. Our query complexity separations use the recent cheat sheet framework of Aaronson, Ben-David, and the author. Our query functions are built up in stages by alternating function composition with the cheat sheet construction. The communication complexity separation follows from lifting the query separation to communication complexity.

研究动机与目标

• 解决确定性通信复杂度与对数分区数之间差距的问题，该问题已困扰学界数十年。
• 改进先前关于查询复杂度与子立方体划分复杂度之间的分离结果，特别是Göös等人提出的1.5次方分离。
• 首次建立量子查询复杂度与子立方体划分复杂度之间的超线性分离。
• 证明以分区数表示的确定性通信复杂度上界O(log²χ(F))在本质上是最优的。
• 证明以子立方体划分复杂度表示的确定性与随机化查询复杂度的二次上界也几乎是紧的。

提出的方法

• 该构造使用Aaronson、Ben-David与作者提出的作弊信封框架，通过将AND函数与一个“bk-sum”函数复合，并应用作弊信封变换，迭代构建查询函数。
• 函数通过归纳方式构建：f₁ = ANDₙ ∘ Bkk_CS，fₖ = ANDₙ ∘ (bk-sumₙ ∘ fₖ₋₁)_{CS}，输入规模随O(n²⁵ᵏ)增长。
• 利用敌对方法对量子查询复杂度进行下界估计，借助作弊信封与复合结构的特性，将复杂度放大为二次方。
• 通过提升定理将查询函数的复杂度分离结果提升为通信复杂度分离，从而保持复杂度差距。
• 分析跟踪关键复杂度度量：量子查询复杂度Q(fₖ)、证书复杂度C₀(fₖ)、C₁(fₖ)，以及子立方体划分复杂度UC(fₖ)，表明UC(fₖ) = Õ(nᵏ⁺¹)，Q(fₖ) = Õ(n¹.⁵ᵏ⁺¹)。
• 通过归纳证明表明，量子查询复杂度的增长为Õ(n¹.⁵ᵏ⁺¹)，而子立方体划分复杂度的增长为Õ(nᵏ⁺¹)，从而实现近乎二次分离。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使确定性通信复杂度与对数分区数之间的差距达到近乎二次，接近理论上的上界O(log²χ(F))？
• RQ2 以子立方体划分复杂度表示的确定性查询复杂度上界O(UC(f)²)是否本质上是最优的？
• RQ3 能否在量子查询复杂度与子立方体划分复杂度之间建立超线性分离？
• RQ4 量子查询复杂度与单边子立方体划分复杂度之间的最紧分离是多少？
• RQ5 作弊信封框架能否用于构造在多个复杂度度量上实现近乎最优分离的函数？

主要发现

• 该论文构造了一个函数F，满足D^cc(F) ≥ (log χ(F))²⁻ᵒ⁽¹⁾，表明O(log²χ(F))这一上界在本质上是最优的。
• 实现了确定性查询复杂度与子立方体划分复杂度之间的近乎二次分离：D(f) ≥ UC(f)²⁻ᵒ⁽¹⁾。
• 建立了量子查询复杂度与子立方体划分复杂度之间的近乎1.5次方分离，这是该两个度量之间首次实现的超线性分离。
• 展示了量子查询复杂度与单边子立方体划分复杂度之间的二次分离。
• 该构造通过迭代函数复合与作弊信封变换，在多个度量上放大了复杂度差距。
• 结果证实，以划分度量表示的通信与查询复杂度的已知上界几乎是紧的，从而解决了长期存在的开放性问题。