[论文解读] Necessary conditions for linear convergence of Picard iterations and application to alternating projections

D. Lüke, Nguyen Hieu Thao+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文在映射违反非扩张性时，建立了Picard迭代线性收敛的必要条件，表明固定点映射的度量次正则性是各种形式单调性的必要条件。将其应用于交替投影时，意味着在交点处集合的次正则性是R-线性收敛的必要条件，从而提出一个猜想：次正则性是此类收敛的根本要求。

ABSTRACT

We present necessary conditions for monotonicity, in one form or another, of fixed point iterations of mappings that violate the usual nonexpansive property in some quantifiable way. We show that most reasonable notions of linear-type monotonicity of fixed point sequences imply metric subregularity of the fixed point mapping. This is specialized to the alternating projections iteration where metric subregularity of the fixed point mapping takes on the distinct geometric property of subtransversality of sets at points of intersection. We show the necessity of subtransversality for a number of reasonable types of sequential monotonicity, under varying degrees of assumptions on the regularity of the sets. Based on the results we obtain, we conjecture that subtransversality is necessary for R-linear convergence to fixed points of iterates of the alternating projections sequence.

研究动机与目标

• 在映射非非扩张时，识别固定点迭代中单调性的必要条件。
• 将Picard迭代的序列单调性与固定点映射的度量次正则性联系起来。
• 将这些结果特化到交替投影，揭示次正则性的几何意义。
• 研究在合理正则性假设下，次正则性是否是交替投影中R-线性收敛的必要条件。
• 推测在此背景下，次正则性是R-线性收敛的根本要求。

提出的方法

• 使用量化违反度量分析在弱化非扩张条件下的固定点迭代。
• 推导迭代序列中各种线性型单调性的必要条件。
• 证明此类单调性意味着固定点映射的度量次正则性。
• 将度量次正则性转化为交替投影背景下的几何性质。
• 识别出度量次正则性对应于交点处集合的次正则性。
• 通过集合的正则性假设加强必要性结果，并支持该猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Picard迭代的线性收敛性意味着固定点映射的度量次正则性？
• RQ2 度量次正则性如何与交替投影中的几何性质相关联？
• RQ3 在合理的正则性假设下，次正则性是否是交替投影中R-线性收敛的必要条件？
• RQ4 固定点序列的何种类型序列单调性要求集合的次正则性？
• RQ5 次正则性是否是交替投影中R-线性收敛的必要条件，若是，其成立的假设条件是什么？

主要发现

• 当非扩张性以可度量方式被违反时，Picard迭代中固定点序列的单调性意味着固定点映射的度量次正则性。
• 在交替投影的背景下，固定点映射的度量次正则性等价于集合在交点处的次正则性。
• 在不同正则性假设下，次正则性被证明是多种序列单调性类型的必要条件。
• 结果支持该猜想：次正则性是交替投影中R-线性收敛的必要条件。
• 本文建立了收敛行为与几何结构之间的强关联，将次正则性确立为线性收敛的关键因素。