[论文解读] Negative curvature of automorphism groups of graph products with applications to right-angled Artin groups

Anthony Genevois|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Geometric and Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文引入了图丛 $\Gamma \mathcal{G}$ 的乘积图 $P(\Gamma, \mathcal{G})$，证明当 $\Gamma \mathcal{G}$ 不是直和时，该图是 Gromov-双曲且无界的。文章建立 $\Gamma \mathcal{G}$ 在 $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 上的作用是无筒的，并可延拓至 $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$，从而证明对于具有至少两个顶点的有限、连通、无平方因子、非连通的单纯图 $\Gamma$，有 $\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ 是无筒双曲的。

ABSTRACT

Given a (freely irreducible) product graph of groups $\Gamma \mathcal{G}$, we introduce and study its \emph{product graph} $P(\Gamma, \mathcal{G})$, defined as the graph whose vertices are the maximal product subgroups of $\Gamma \mathcal{G}$ and whose edges link two subgroups when they intersect non-trivially. One shows that: $(i)$ $P(\Gamma, \mathcal{G})$ is a Gromov-hyperbolic graph which is unbounded whenever $\Gamma \mathcal{G}$ is not a direct sum, $(ii)$ the action $\Gamma \mathcal{G} \curvearrowright P(\Gamma, \mathcal{G})$ satisfies a condition of acylindricity and induces a natural Nielsen-Thurston classification of the elements of $\Gamma \mathcal{G}$, $(iii)$ and this action naturally extends to an action of the automorphism group $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$. By looking for WPD isometries in the automorphism group, we prove that, if $\Gamma$ is a finite, connected and square-free simplicial graph which does not decompose as a join and contains at least two vertices, then the automorphism group $\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ of the right-angled Artin group $A_\Gamma$ turns out to be acylindrically hyperbolic. Applications to the geometry of cyclic extensions of right-angled Artin groups are also included.

研究动机与目标

• 定义并研究乘积图 $P(\Gamma, \mathcal{G})$，作为分析图积自同构群的工具。
• 建立 $\Gamma \mathcal{G}$ 在 $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 上的作用的双曲性与无筒性。
• 将作用延拓至 $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$，并利用 Nielsen-Thurston 理论对元素进行分类。
• 在 $\Gamma$ 满足特定拓扑条件（有限、连通、无平方因子、非连通）时，证明右交错Artin群 $\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ 的无筒双曲性。

提出的方法

• 将 $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 定义为顶点对应于 $\Gamma \mathcal{G}$ 的极大积子群，且当两子群有非平凡交时连边的图。
• 证明当 $\Gamma \mathcal{G}$ 不是直和时，$P(\Gamma, \mathcal{G})$ 是 Gromov-双曲且无界的。
• 通过分析稳定子群与拟轴的一致性，证明 $\Gamma \mathcal{G} \curvearrowright P(\Gamma, \mathcal{G})$ 满足无筒性。
• 通过将自同构提升为极大积子群上的置换，将作用延拓至 $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$。
• 利用 $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$ 在 $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 上存在 WPD 等距变换的事实，推导出无筒双曲性。
• 通过验证 $\Gamma$ 的条件以确保所需的双曲性与无筒性，将该理论应用于右交错Artin群 $A_\Gamma$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，图积的自同构群是无筒双曲的？
• RQ2 乘积图 $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 如何编码 $\Gamma \mathcal{G}$ 的几何与动力性质？
• RQ3 $\Gamma \mathcal{G}$ 在 $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 上的作用能否延拓为 $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$ 的作用？
• RQ4 WPD 等距变换在确立 $\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ 的无筒双曲性中起什么作用？
• RQ5 图 $\Gamma$ 的拓扑性质（如有限、连通、无平方因子、非连通）如何影响 $\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ 的结构？

主要发现

• 当 $\Gamma \mathcal{G}$ 不是直和时，乘积图 $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 是 Gromov-双曲且无界的。
• $\Gamma \mathcal{G} \curvearrowright P(\Gamma, \mathcal{G})$ 的作用是无筒的，满足对点对稳定子群的一致性条件。
• 该作用自然延拓为 $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$ 在 $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 上的作用，保持图的结构。
• 对于具有至少两个顶点的有限、连通、无平方因子的单纯图 $\Gamma$（且非连通），有 $\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ 是无筒双曲的。
• $\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ 在 $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 上存在 WPD 等距变换，证实了自同构群的无筒双曲性。
• 基于 $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 的几何结构与自同构群的动力学，推导出右交错Artin群的循环扩张的应用。