[论文解读] Nested Sequents

Kai Brünnler|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2010

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文引入嵌套序列式（nested sequents）作为模态逻辑的系统化证明理论框架，以自然的模态语言实现切割消去与子公式性质。该文为所有具有标准框架条件的正常模态逻辑构建了嵌套序列式系统，确立了其合理性、完备性及证明搜索的终止性，并将该方法扩展至共同知识逻辑，提出一种新的无穷序列式嵌套序列式系统，实现语法切割消去与证明长度的有界性。

ABSTRACT

We see how nested sequents, a natural generalisation of hypersequents, allow us to develop a systematic proof theory for modal logics. As opposed to other prominent formalisms, such as the display calculus and labelled sequents, nested sequents stay inside the modal language and allow for proof systems which enjoy the subformula property in the literal sense. In the first part we study a systematic set of nested sequent systems for all normal modal logics formed by some combination of the axioms for seriality, reflexivity, symmetry, transitivity and euclideanness. We establish soundness and completeness and some of their good properties, such as invertibility of all rules, admissibility of the structural rules, termination of proof-search, as well as syntactic cut-elimination. In the second part we study the logic of common knowledge, a modal logic with a fixpoint modality. We look at two infinitary proof systems for this logic: an existing one based on ordinary sequents, for which no syntactic cut-elimination procedure is known, and a new one based on nested sequents. We see how nested sequents, in contrast to ordinary sequents, allow for syntactic cut-elimination and thus allow us to obtain an ordinal upper bound on the length of proofs.

研究动机与目标

• 使用嵌套序列式发展正常模态逻辑的系统化证明理论，避免使用显示演算或标签等外部形式化系统。
• 为嵌套序列式系统建立合理性、完备性以及关键的证明理论性质，如规则的可逆性、结构规则的可容许性，以及证明搜索的终止性。
• 通过引入新的嵌套序列式表述，解决现有无穷序列式系统在共同知识逻辑中缺乏语法切割消去的问题。
• 通过嵌套序列式框架中的语法切割消去，为共同知识逻辑中的证明长度提供序数上界。

提出的方法

• 将超序列式推广至嵌套序列式，允许序列结构的多层嵌套，保留模态语言并支持直接的证明构造。
• 针对每种框架条件组合（如序列性、自反性、对称性、传递性、欧几里得性），基于相应模态逻辑的公理，设计统一的嵌套序列式规则族。
• 在嵌套序列式框架内证明所有推理规则的可逆性，以及结构规则（如弱化、收缩等）的可容许性。
• 构建共同知识逻辑的无穷序列式嵌套序列式系统，整合一个不动点模态，支持语法切割消去。
• 利用切割消去结果，推导出共同知识逻辑中证明长度的序数上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 嵌套序列式能否为所有具有标准框架条件的正常模态逻辑提供统一且系统化的证明理论框架？
• RQ2 模态逻辑的嵌套序列式系统是否在字面意义上享有子公式性质，而无需依赖标签或显示演算的扩展？
• RQ3 在标准序列式系统中尚不明确的共同知识逻辑的无穷序列式嵌套序列式系统中，语法切割消去是否可能实现？
• RQ4 共同知识逻辑的嵌套序列式系统中的切割消去过程能否导出证明长度的序数上界？

主要发现

• 基于序列性、自反性、对称性、传递性和欧几里得性构建的所有正常模态逻辑的嵌套序列式系统均具有合理性与完备性。
• 嵌套序列式系统中的所有推理规则均可逆，结构规则可容许，支持有效的证明搜索过程。
• 由于子公式性质的存在以及结构复杂性仅限于嵌套结构本身，嵌套序列式系统中的证明搜索具有终止性。
• 共同知识逻辑的嵌套序列式系统支持语法切割消去，而这是以往普通序列式系统所未知的。
• 共同知识逻辑的嵌套序列式系统中的切割消去结果，为证明长度提供了序数上界，从而提供了证明复杂性的度量。