[论文解读] Network analysis of the state space of chaotic map in digital domain.

Chengqing Li|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2014

Chaos-based Image/Signal Encryption参考文献 45被引用 3

一句话总结

本文通过将混沌映射（如Logistic映射）在定点数算术中的状态空间建模为有向网络，其中每个状态为一个节点，状态转移为边，分析了其在定点数算术中的状态空间。证明该网络表现出无标度特性，为评估数字混沌系统中伪随机数的质量提供了结构基础。

ABSTRACT

Complex dynamics of chaotic maps under an infinite-precision mathematical framework have been well known. The case in a finite-precision computer remains to be further explored. Previous work treated a digital chaotic map as a black box and gave different explanations according to the test results of the output. Using the Logistic map as a typical example, we disclose some dynamical properties of chaotic maps in fixed-point arithmetic by studying its corresponding state network, where every possible value is considered as a node and every possible mapping relation between a pair of nodes works as a directed edge. The scale-free properties of the state network are quantitatively proven. The obtained results can be extended to the scenario of floating-point arithmetic and to other chaotic maps. Understanding the real network structure of the state space of a chaotic map in the digital domain will help evaluate and improve the randomness of pseudo-random number sequences generated by chaotic maps.

研究动机与目标

• 研究混沌映射在有限精度数字系统中的动力学行为，因为在这些系统中无限精度的动力学行为并不完全适用。
• 超越将数字混沌映射视为黑箱的做法，通过分析其内部状态转移结构来深入理解。
• 表征由定点数算术实现形成的系统状态空间网络的拓扑特性。
• 建立一个适用于其他混沌映射和算术格式（包括浮点数）的通用框架。
• 提供一种结构化的理解，以支持对混沌伪随机数序列中随机性质量的评估与改进。

提出的方法

• 将混沌映射在定点数算术中的状态空间建模为有向网络，其中每个可能的状态作为节点。
• 基于混沌映射递推关系的确定性映射，定义节点之间的有向边。
• 应用网络分析技术，研究所得状态网络的度分布和结构特性。
• 通过数学分析证明状态网络的无标度特性，其特征为幂律度分布。
• 通过结构和拓扑推理，将研究结果扩展至浮点数算术及其他混沌映射。
• 利用网络表示揭示原本看似随机的数字动力学中隐藏的规律性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在定点数算术下，数字混沌映射的状态空间的底层网络结构是什么？
• RQ2 度分布等拓扑特性在多大程度上表征了数字混沌映射的动力学行为？
• RQ3 在有限精度系统中，混沌映射的状态网络在多大程度上表现出无标度特性？
• RQ4 定点数网络的结构洞见在多大程度上可推广至浮点数算术及其他混沌映射？
• RQ5 网络结构与混沌映射生成的伪随机序列的随机性质量之间有何关联？

主要发现

• Logistic映射在定点数算术下的状态网络表现出无标度拓扑结构，具有幂律度分布。
• 通过网络度分布的数学分析，定量证明了该网络的无标度特性。
• 网络结构揭示了数字混沌动力学中隐藏的规律性，挑战了其行为完全随机的假设。
• 由于共享的结构原理，研究结果可推广至浮点数算术及其他混沌映射。
• 基于网络的分析为评估和改进混沌映射生成的伪随机数序列的随机性提供了一个新框架。
• 结果表明，由于有限状态空间和网络拓扑结构，数字混沌系统并非以与无限精度对应物相同的方式具有遍历性。