[论文解读] Network Representation Using Graph Root Distributions

Jing Lei|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Complex Network Analysis Techniques参考文献 54被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于图根分布（GRD）的交换性随机图的新参数化方法，其中节点被表示为克雷因空间中的随机向量，边概率由其内积定义。主要贡献是提出了一种理论基础坚实、几何可解释的估计器，通过加权谱嵌入一致地恢复GRD，并证明GRD之间的Wasserstein距离可上界控制图采样分布之间的割距离。

ABSTRACT

Exchangeable random graphs serve as an important probabilistic framework for the statistical analysis of network data. In this work we develop an alternative parameterization for a large class of exchangeable random graphs, where the nodes are independent random vectors in a linear space equipped with an indefinite inner product, and the edge probability between two nodes equals the inner product of the corresponding node vectors. Therefore, the distribution of exchangeable random graphs in this subclass can be represented by a node sampling distribution on this linear space, which we call the graph root distribution. We study existence and identifiability of such representations, the topological relationship between the graph root distribution and the exchangeable random graph sampling distribution, and estimation of graph root distributions.

研究动机与目标

• 提出一种基于可分克雷因空间中潜在节点向量的新参数化方法，用于交换性随机图，具有几何可解释性。
• 建立图根分布（GRD）的存在性与可识别性，作为一大类交换性随机图的表示形式。
• 证明GRD之间的Wasserstein距离可上界控制对应图采样分布之间的割距离。
• 提出一种基于加权截断邻接谱嵌入的GRD一致估计器。
• 证明GRD框架在理论保证下可揭示网络数据中的显著几何结构。

提出的方法

• 通过配备不定内积的可分克雷因空间中的节点向量表示交换性随机图。
• 将图根分布（GRD）构造为从图子核$W$的谱分解中导出的节点向量的采样分布。
• 在$[0,1]$上使用积分算子$W$的平方根进行逆变换采样，以生成潜在节点向量。
• 应用奇异值阈值化，并通过绝对特征值的平方根对截断谱嵌入进行加权，以估计GRD。
• 证明GRD之间的Wasserstein距离可上界控制图采样分布之间的割距离。
• 借鉴谱图理论与图子估计中的技术，包括截断邻接矩阵与算子范数控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将交换性随机图表示为克雷因空间上的概率分布，使得边概率为潜在节点向量的内积？
• RQ2 在何种条件下，给定交换性随机图的图根分布存在且保持可识别性？
• RQ3 GRD之间的Wasserstein距离与图采样分布之间的割距离之间有何关系？
• RQ4 随着网络规模增大，加权截断谱嵌入是否能一致估计底层GRD？
• RQ5 GRD框架是否在理论保证下可揭示真实网络数据中的有意义几何结构？

主要发现

• 对于一大类交换性随机图，图根分布（GRD）存在且可识别，其通过图子核$W$的谱分解构造而成。
• 两个GRD之间的Wasserstein距离可作为对应交换性随机图采样分布之间割距离的上界。
• 引入一种修正的Wasserstein距离以度量GRD等价类之间的距离，同时保持上界性质。
• 在正则性条件下，当$n \to \infty$时，采用平方根特征值权重的加权截断邻接谱嵌入在Wasserstein距离下收敛于真实GRD。
• GRD估计器具有一致性，并在数值示例中揭示了网络数据中的几何结构。
• GRD框架将随机点积图模型扩展为种群水平、几何可解释的表示形式，并具备理论保证。