[论文解读] Neutrosophic Precalculus and Neutrosophic Calculus

Florentín Smarandache|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2015

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 125被引用 32

一句话总结

本文将模糊预微积分与模糊微积分作为经典数学的扩展，以处理不确定性，提出了诸如模糊近似极限、近似连续性、近似导数和近似积分等新概念。通过引入真值、不确定性与假值成分，该研究对传统微积分进行了推广，构建了一个用于建模不完整或模糊数据系统的框架。

ABSTRACT

Neutrosophic Analysis is a generalization of Set Analysis, which in its turn is a generalization of Interval Analysis. Neutrosophic Precalculus is referred to indeterminate staticity, while Neutrosophic Calculus is the mathematics of indeterminate change. The Neutrosophic Precalculus and Neutrosophic Calculus can be developed in many ways, depending on the types of indeterminacy one has and on the methods used to deal with such indeterminacy. In this book, the author presents a few examples of indeterminacies and several methods to deal with these specific indeterminacies, but many other indeterminacies there exist in our everyday life, and they have to be studied and resolved using similar of different methods. Therefore, more research should to be done in the field of neutrosophics. The author introduces for the first time the notions of neutrosophic mereo-limit, neutrosophic mereo-continuity (in a different way from the classical semi-continuity), neutrosophic mereo-derivative and neutrosophic mereo-integral (both in different ways from the fractional calculus), besides the classical definitions of limit, continuity, derivative, and integral respectively. Future research may be done in the neutrosophic fractional calculus.

研究动机与目标

• 为形式化一种能够使用模糊逻辑处理不确定静态性与变化的数学框架。
• 解决经典预微积分与微积分在建模信息不完整、模糊或不一致系统时的局限性。
• 提出新定义（如模糊近似极限与近似导数），在考虑不确定性的同时推广经典概念。
• 为未来在模糊分数阶微积分及不确定系统更广泛应用方面的研究提供基础。
• 证明不确定性是现实的基本特征，需要在经典分析之外进行系统化的数学处理。

提出的方法

• 提出模糊近似极限作为经典极限的推广，纳入真值、不确定性与假值。
• 引入模糊近似连续性作为连续性的独立形式，通过显式建模不确定行为，与经典连续性和半连续性相区别。
• 基于三值逻辑系统（真值、不确定性、假值）定义模糊近似导数，其方法与结构与分数阶微积分不同。
• 提出模糊近似积分作为新积分概念，将经典积分推广至处理不确定函数。
• 通过使用三元逻辑框架重新定义核心概念，将模糊逻辑应用于预微积分与微积分。
• 利用该框架分析数据或行为不完全已知或不一致的系统，提供更全面的数学模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典预微积分与微积分概念如何被推广以处理不确定状态与变化？
• RQ2 不确定性在定义极限、连续性、导数与积分等数学分析概念中起什么作用？
• RQ3 能否构建一种新微积分，将不确定性视为基本组成部分而非异常现象？
• RQ4 模糊近似导数与近似积分与现有分数阶微积分方法有何不同？
• RQ5 在数学分析基础中引入真值、不确定性与假值会产生何种影响？

主要发现

• 本文成功提出一种新数学框架——模糊预微积分与模糊微积分，将经典数学扩展至建模不确定系统。
• 模糊近似连续性被定义为一种独立的连续形式，可处理不确定行为，与经典函数和半连续函数不同。
• 提出模糊近似导数作为新导数概念，纳入不确定性，为超越分数阶微积分开辟新路径。
• 引入模糊近似积分为广义积分，可处理具有不确定值的函数，扩展了经典积分理论。
• 该框架表明不确定性并非缺陷，而是许多现实系统中的自然组成部分，需进行正式的数学处理。
• 该工作为模糊分数阶微积分研究开辟了新方向，并在人工智能、决策制定等涉及不确定性的领域具有广泛应用潜力。