[论文解读] New applications of the Lambert and generalized Lambert functions to ferromagnetism and quantum mechanics

Victor Bârsan|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2016

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文将广义Lambert函数的最新进展应用于铁磁性和量子力学中的超越方程求解。它为平均场铁磁学中的Weiss方程以及具有狄拉克函数势的本征值问题提供了精确的解析解，表明解可明确表示为 $ W(t;s;a) $ 和 $ W(t_1,t_2;-;a) $ 的形式，从而实现了对以往难以处理的模型的完整解析处理。

ABSTRACT

The applications of the recent results obtained in the theory of generalized Lambert functions, to the mean field theory of ferromagnetism are presented. As a consequence, all the predictions of the Weiss theory of ferromagnetism can be explicitly and exactly formulated. In several quantum mechanical problems involving delta function potentials, the solutions of the transcendental eigenvalue equations are expressed in terms of two parameters generalized Lambert functions. Some others, till unnoticed examples of eigenvalue equations whose solutions can be written using the Lambert W function, are also presented.

研究动机与目标

• 将广义Lambert函数的应用扩展至此前未被其触及的物理理论。
• 利用 $ W(t;s;a) $ 为平均场铁磁学中的Weiss方程提供精确的解析解。
• 识别并求解具有狄拉克函数势的量子力学本征值问题，使用Lambert函数。
• 揭示Lambert函数与量子力学谱问题之间此前未被注意的联系。
• 证明Weiss铁磁理论的全部预测均可通过广义Lambert函数明确且精确地表达。

提出的方法

• 利用广义Lambert函数 $ W(t;s;a) $，其定义为方程 $ e^x \frac{x-t}{x-s} = a $ 的解，求解铁磁学中的Weiss方程。
• 应用 $ r $-Lambert函数 $ W_r $（即 $ xe^x + rx $ 的反函数），通过 $ W(t;s;a) = t + W_{-a e^{-t}}(a(t-s)e^{-t}) $ 表达 $ W(t;s;a) $。
• 采用 $ W(t;s;a) $ 和 $ W(t_1,t_2;-;a) $ 的级数展开，涉及拉盖尔多项式和贝塞尔多项式，以实现解析处理。
• 将Weiss方程 $ \tanh x = bx $ 变换为 $ e^{2x} \frac{x - 1/b}{x + 1/b} = -1 $，该式可通过 $ W(2/b; -2/b; -1) $ 求解。
• 将逆Weiss方程 $ \tanh x = b/x $ 变换为 $ e^{2x} \frac{x - b}{x + b} = 1 $，该式可通过 $ W(2b; -2b; 1) $ 求解。
• 将相同框架应用于一维具有狄拉克函数势的量子力学问题，推导出可通过 $ W $-函数求解的本征值方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用广义Lambert函数精确求解平均场铁磁学中的Weiss方程？
• RQ2 是否存在具有狄拉克函数势的量子力学系统，其本征值方程可利用Lambert函数求解？
• RQ3 广义Lambert函数 $ W(t_1,t_2;-;a) $ 在求解量子力学谱问题中起什么作用？
• RQ4 为何Lambert函数与量子力学本征值方程之间的联系此前一直被忽视？
• RQ5 能否通过广义Lambert函数完整恢复Weiss铁磁理论的解析结构？

主要发现

• Weiss方程 $ \tanh x = bx $ 可通过 $ x = \frac{1}{2} W(2/b; -2/b; -1) $ 精确求解，从而实现对铁磁学的完整解析处理。
• 逆Weiss方程 $ \tanh x = b/x $ 可通过 $ x = \frac{1}{2} W(2b; -2b; 1) $ 精确求解，扩展了可求解模型的范围。
• 双狄拉克势中粒子的能谱为 $ K = W(2ag^2, -2ag^2; -; -4a^2g^4) $，这是广义Lambert函数的直接应用。
• 靠近壁面的狄拉克函数势的束缚态能量为 $ k = -\frac{1}{2}(g + W(ge^g)) $，表明Lambert函数在边界条件依赖谱中的作用。
• 狄拉克壳势的转动谱为 $ k = \frac{V_0}{2} + \frac{1}{2r} W(-rV_0 e^{-rV_0}) $，展示了其在三维系统中的适用性。
• 若干此前未被察觉可利用 $ W $ 求解的涉及 $ \delta $ 和 $ \delta' $ 函数的量子力学本征值方程，现已被明确关联至Lambert函数。