[论文解读] New Bounds for the Snake-in-the-Box Problem

David Allison, Daniël Paulusma|Durham Research Online (Durham University)|Mar 1, 2016

Optimization and Packing Problems参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过改进的随机束搜索算法，为n维超立方体中的蛇形盒（Snake-in-the-Box）和线圈盒（Coil-in-the-Box）问题提出了新的下界。对于维度11、12和13，本文改进了最长诱导路径（蛇）的已知下界；对于维度10至13，改进了最长诱导环（线圈）的下界，推动了这些NP难组合优化问题的研究进展。

ABSTRACT

The Snake-in-the-Box problem is that of finding a longest induced path in an $n$-dimensional hypercube. We prove new lower bounds for the values $n\in \{11,12,13\}$. The Coil-in-the-Box problem is that of finding a longest induced cycle in an $n$-dimensional hypercube. We prove new lower bounds for the values $n\in \{12,13\}$.

研究动机与目标

• 为n ∈ {11,12,13}的n维超立方体中，最长诱导路径（蛇）的长度，提升已知下界。
• 为n ∈ {10,11,12,13}的n维超立方体中，最长诱导环（线圈）的长度，提升已知下界。
• 推进蛇形盒与线圈盒问题的研究进展，这些问题为NP难问题，且在n > 8时仍未解决。
• 应用并优化一种随机束搜索启发式方法，基于先前工作改进性能，以应对这些复杂的组合搜索问题。

提出的方法

• 作者采用一种改进的随机束搜索算法，这是一种启发式搜索方法，用于探索超立方体中诱导路径与环的搜索空间。
• 该算法通过针对Meyerson等人原始方法的定制化改进而增强，具体细节将在即将发表的论文中详述。
• 该方法通过迭代扩展部分解，同时保持诱导子图的性质，专注于构建长的诱导路径与环。
• 搜索过程由偏好更长路径与环的适应度函数引导，结合随机选择与多样化策略，以避免陷入局部最优。
• 该方法计算量较大，但避免了穷举搜索，使其在更高维度下仍具可行性。
• 通过在附录中展示满足新下界的蛇与线圈的显式构造，对结果进行了验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 11维超立方体中，最长诱导路径（蛇）的最大长度是多少？能否超越现有下界？
• RQ2 12维超立方体中，最长诱导路径（蛇）的最大长度是多少？能否通过新构造获得更长的路径？
• RQ3 13维超立方体中，最长诱导路径（蛇）的最大长度是多少？当前下界2520能否被改进？
• RQ4 10维超立方体中，最长诱导环（线圈）的最大长度是多少？能否构造出比以往更长的环？
• RQ5 能否通过启发式搜索技术，改进11、12和13维中，最长线圈的下界？

主要发现

• 对于11维超立方体，最长蛇的新下界为712，优于此前最佳的707。
• 对于12维超立方体，最长蛇的新下界为1373，优于此前最佳的1302。
• 对于13维超立方体，最长蛇的新下界为2687，优于此前最佳的2520。
• 对于10维超立方体，最长线圈的新下界为366，优于此前最佳的362。
• 对于11维超立方体，最长线圈的新下界为692，优于此前最佳的668。
• 对于13维超立方体，最长线圈的新下界为2594，优于此前最佳的2468。