[论文解读] New Convex Programs for Fisher's Market Model and its Generalizations

Nikhil R. Devanur, Kamal Jain+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Economic theories and models参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文提出了广义Fisher市场模型的两个新型凸规划：一个为卖家设定收益上限的模型（M₁），另一个为买家设定效用上限的模型（M₂），二者均扩展了经典的Eisenberg-Gale与Shmyrev凸规划。主要贡献在于证明了这些模型存在有理数均衡，并可通过椭球法在多项式时间内求解，且在变量变换下，其对偶规划被证明是等价的。

ABSTRACT

We present the following results pertaining to Fisher's market model: -We give two natural generalizations of Fisher's market model: In model M_1, sellers can declare an upper bound on the money they wish to earn (and take back their unsold good), and in model M_2, buyers can declare an upper bound on the amount to utility they wish to derive (and take back the unused part of their money). -We derive convex programs for the linear case of these two models by generalizing a convex program due to Shmyrev and the Eisenberg-Gale program, respectively. -We generalize the Arrow-Hurwicz theorem to the linear case of these two models, hence deriving alternate convex programs. -For the special class of convex programs having convex objective functions and linear constraints, we derive a simple set of rules for constructing the dual program (as simple as obtaining the dual of an LP). Using these rules we show a formal relationship between the two seemingly different convex programs for linear Fisher markets, due to Eisenberg-Gale and Shmyrev; the duals of these are the same, upto a change of variables.

研究动机与目标

• 通过引入自然约束来扩展经典Fisher市场模型：卖家可设定收益上限（M₁），买家可设定效用上限（M₂）。
• 为这些广义模型中的均衡分配构建凸规划，尤其针对线性效用情形。
• 证明这些模型中均衡的存在性及其有理数性质，从而实现通过椭球法进行多项式时间计算。
• 在具有线性效用的背景下，建立Eisenberg-Gale与Shmyrev凸规划之间的正式对偶关系。
• 将Arrow-Hurwicz定理推广至新模型，并推导出线性效用情形下M₁与M₂的替代凸规划。

提出的方法

• 通过一种新的效用约束分配表述方式，将Eisenberg-Gale凸规划推广至建模M₂（买家效用上限）。
• 将Shmyrev的凸规划（CP）推广至建模M₁（卖家收益上限），通过重新定义变量以表示价格与支出，而非分配量。
• 利用一种适用于具有凸目标函数与线性约束的凸规划的新、简洁的对偶规则，推导出M₁与M₂的对偶凸规划。
• 证明在变量变换下，Eisenberg-Gale与Shmyrev规划的对偶规划是等价的，从而统一了看似不同的两种公式化形式。
• 应用椭球法求解凸规划，通过基于Arrow-Hurwicz定理推广的构造，实现多项式时间分离 oracle。
• 利用两种模型中基于效用与预算参数推导出的价格边界，构建初始椭球的边界框。

实验结果

研究问题

• RQ1 当卖家设定收益上限且买家设定效用上限时，Fisher市场中是否存在均衡？
• RQ2 能否构建凸规划以捕捉这些广义模型中的均衡分配？
• RQ3 当输入参数为有理数时，这些模型中的均衡是否为有理数，从而实现多项式时间计算？
• RQ4 在具有线性效用与约束的背景下，Eisenberg-Gale与Shmyrev凸规划之间存在何种关系？
• RQ5 能否将Arrow-Hurwicz定理扩展至线性效用下，为M₁与M₂推导出替代凸规划？

主要发现

• 在具有线性效用的条件下，广义Fisher市场模型M₁（卖家收益上限）与M₂（买家效用上限）均存在均衡。
• 通过分别扩展Eisenberg-Gale与Shmyrev规划，构建了M₁与M₂的凸规划，并正式确立了二者之间的对偶关系。
• 在变量变换下，Eisenberg-Gale与Shmyrev规划的对偶规划是等价的，揭示了其深层结构联系。
• 当输入参数为有理数时，两个模型中均存在有理数均衡，确保可通过椭球法实现多项式时间求解。
• 通过广义Arrow-Hurwicz定理的实现，构建了椭球法的多项式时间分离 oracle，从而实现高效的均衡计算。
• 对于M₂，还为Leontief与CES效用（0 < ρ < 1）情形提供了凸规划，扩展了线性效用之外的适用范围。