[论文解读] Online Packing and Covering Framework with Convex Objectives

Niv Buchbinder, Shahar Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2014

Optimization and Search Problems参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新颖的在线原始-对偶框架，用于具有凸目标函数的分数覆盖和打包问题，其中约束条件和变量在线到达。该框架的竞争力比率取决于凸函数 f 的平滑性和单调性参数，推广了先前仅适用于线性目标函数的框架，并为在线集合覆盖（具有多种成本）、容量设施位置以及具有非可分生产成本的多播等问题提供了新的或改进的竞争力算法。

ABSTRACT

We consider online fractional covering problems with a convex objective, where the covering constraints arrive over time. Formally, we want to solve min{f(x)∣Ax≥1,x≥0}, where the objective function f:Rn→R is convex, and the constraint matrix Am×n is non-negative. The rows of A arrive online over time, and we wish to maintain a feasible solution x at all times while only increasing coordinates of x. We also consider "dual" packing problems of the form max{c⊺y−g(μ)∣A⊺y≤μ,y≥0}, where g is a convex function. In the online setting, variables y and columns of A⊺ arrive over time, and we wish to maintain a non-decreasing solution (y,μ). <br>We provide an online primal-dual framework for both classes of problems with competitive ratio depending on certain "monotonicity" and "smoothness" parameters of f; our results match or improve on guarantees for some special classes of functions f considered previously. <br>Using this fractional solver with problem-dependent randomized rounding procedures, we obtain competitive algorithms for the following problems: online covering LPs minimizing ℓp-norms of arbitrary packing constraints, set cover with multiple cost functions, capacity constrained facility location, capacitated multicast problem, set cover with set requests, and profit maximization with non-separable production costs. Some of these results are new and others provide a unified view of previous results, with matching or slightly worse competitive ratios.

研究动机与目标

• 开发一种用于具有在线约束到达的分数凸覆盖和打包问题的一般在线原始-对偶算法。
• 将经典的在线原始-对偶框架——此前仅限于线性目标函数——扩展至处理一般凸目标函数。
• 提供依赖于凸函数 f 的平滑性和单调性参数的竞争力比率保证。
• 通过问题特定的随机化舍入将该框架应用于多种在线问题，从而获得新的或改进的竞争力算法。
• 统一并推广先前关于集合覆盖（具有多种成本）、设施位置以及具有容量和生产成本约束的多播等问题的研究结果。

提出的方法

• 提出两种在线原始-对偶算法：一种允许对偶变量 y 减少，另一种对所有变量（包括 y）强制单调性。
• 基于梯度比 ∇ℓf(z)/∇ℓf(cz) 和项 (z⊺∇f(z) − f(z))/f(cz) 推导竞争力比率边界，以捕捉平滑性和单调性。
• 将该框架应用于混合覆盖-打包线性规划的凸松弛问题，如具有多个成本函数的集合覆盖和容量设施位置问题。
• 使用与问题相关的随机化舍入将分数解转换为整数解，控制附加误差。
• 采用缩放与舍入方案，通过切尔诺夫不等式确保浓度界限，从而以高概率保持可行性。
• 引入对偶变量变换，将具有非可分生产成本的问题映射为与框架兼容的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将在线原始-对偶框架从线性目标函数扩展到凸目标函数的覆盖和打包问题？
• RQ2 对于凸目标函数，可实现的竞争力比率是多少？平滑性和单调性参数如何影响该比率？
• RQ3 该框架能否统一或改进现有在线问题（如具有多种成本的集合覆盖或容量设施位置）的结果？
• RQ4 在具有非可分生产成本的问题中，带有附加误差的随机化舍入对竞争力比率有何影响？
• RQ5 所推导的竞争力比率与线性目标函数特殊情形下的已知下界相比如何？

主要发现

• 在目标函数为线性的情况下，该框架对单调原始变量实现了 O(log d) 的竞争力比率，与已知下界一致。
• 对于一般凸目标函数，竞争力比率取决于 f 的平滑性和单调性参数，且以梯度比形式给出了明确的边界。
• 对于最小化负载向量 ℓp-范数的混合覆盖-打包线性规划，获得了 O(p log d) 的竞争力算法。
• 对于容量设施位置问题，实现了 O(log²m) 的分数解竞争力，经舍入后得到 O(log²m log mn) 的随机化在线竞争力算法。
• 对于容量多播问题，该框架导出 O(log²m log mn) 的竞争力算法，容量违反度为 O((d + log²m) log mn)。
• 对于具有非可分生产成本的利润最大化问题，该框架实现了 (1−1/m)OPT/O(p log Rd)p −g(O(log m)·1) 的期望利润，其中附加误差在凸松弛中不可避免。