[论文解读] New deformations of group algebras of Coxeter groups

Pavel Etingof, Eric M. Rains|ArXiv.org|Sep 15, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文通过在保持对合关系不变的同时变形 braid 关系，引入了 Coxeter 群代数的一类新变形，使用可交换参数 $ t_{ijk} $；关键结果是，所得代数 $ A_+ $ 在且仅在 Coxeter 群不包含秩 3 的有限抛物子群时是平坦的（在参数环上自由），该结果推广了已知的 Fuchsian 群 Hecke 代数的平坦性结果。

ABSTRACT

We define new deformations of group algebras of Coxeter groups W and of subgroups of even elements in them, by deforming the braid relations. We show that these deformations are algebraically flat iff they are formally flat, and that this happens iff the group W has no finite parabolic subgroups of rank 3. The proof uses the theory of constructible sheaves on cell complexes attached to W. We explain the connection of our deformations with the Hecke algebras of orbifolds defined by the first author in math.QA/0406499 and with generalized double affine Hecke algebras defined by the authors and A. Oblomkov in math.QA/0406480. The paper is dedicated to the memory of Walter Feit.

研究动机与目标

• 通过在保持对合关系不变的同时变形 braid 关系，定义并研究 Coxeter 群代数的一类新变形。
• 确定这些变形在何种条件下产生平坦代数，特别关注偶元子代数 $ A_+ $。
• 建立变形代数的平坦性与相关 Coxeter 群几何性质之间的联系，尤其关注 Fuchsian 群。
• 利用构造性层与表示理论，为变形代数提供一个典范滤子与基。
• 在不依赖计算方法的前提下，代数地推广并证明多边形 Fuchsian 群 Hecke 代数的 PBW 型定理。

提出的方法

• 通过将 braid 关系 $ (s_i s_j)^{m_{ij}} = 1 $ 替换为 $ \prod_{k \in \mathbb{Z}_{m_{ij}}} (s_i s_j - t_{ijk}) = 0 $ 来定义变形，其中 $ t_{ijk} $ 为可交换的形式参数。
• 代数 $ A $ 由生成元 $ s_i $ 和 $ t_{ijk} $ 构造，满足 $ s_i^2 = 1 $，$ s_p t_{ijk} = t_{jik} s_p $，以及变形后的 braid 关系。
• 子代数 $ A_+ $（由 $ s_i s_j $ 和 $ t_{ijk} $ 生成）被证明是 $ \mathbb{C}[W_+] $（偶子群的群代数）的一个真实变形。
• 通过在 $ \mathbb{C}[[\log t_{ijk}]] $ 上的形式变形理论分析平坦性，形式平坦性推出代数平坦性。
• 利用 Coxeter 群的胞腔复形上的构造性层分析 Ext 群，并证明局部系统变形的存在性。
• 证明依赖于：当某些上同调消去条件成立时，$ \mathbb{C}[W_+] $ 的正则表示可变形为变形代数 $ A_+ $ 上的模，从而推出平坦性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在保持对合关系不变的同时，通过变形 braid 关系定义的 Coxeter 群代数 $ \mathbb{C}[W] $ 的新变形，其代数平坦性的条件是什么？
• RQ2 变形代数 $ A_+ $ 的平坦性如何与 Coxeter 群的几何与组合结构相关，特别是与秩 3 的有限抛物子群的存在性有关？
• RQ3 能否利用构造性层与表示理论，代数地确立多边形 Fuchsian 群 Hecke 代数的平坦性？
• RQ4 是否存在变形代数 $ A_+ $ 的典范滤子与基？其与 PBW 性质有何关系？
• RQ5 Coxeter 矩阵 $ M $ 的精确条件是什么，以确保代数 $ A_+ $ 在参数环 $ R = \mathbb{C}[t_{ijk}] $ 上自由？

主要发现

• 群代数 $ \mathbb{C}[W] $ 的变形 $ A $ 是代数平坦的，当且仅当它在 $ \mathbb{C}[[\log t_{ijk}]] $ 上形式平坦，这确保了其在参数环 $ R $ 上的自由性。
• 对于秩 3 的 Coxeter 群，代数 $ A_+ $ 是平坦的，当且仅当该群是无限的，即当三元组 $ (m_{12}, m_{13}, m_{23}) $ 不属于 $ (2,2,m) $、$ (2,3,3) $、$ (2,3,4) $ 或 $ (2,3,5) $，这些对应于有限群。
• 主要结果推广为：在任意秩下，$ A_+ $ 是平坦的，当且仅当 $ W $ 不包含秩 3 的有限抛物子群。
• 通过 $ s_i $ 的约化字构造了典范滤子 $ F^n A $，且 $ F^n A / F^{n-1} A $ 是有限生成的自由 $ R $-模。
• 多边形 Fuchsian 群 $ \Gamma $ 的 Hecke 代数 $ \mathcal{H}(\Gamma) $ 同构于特定 Coxeter 矩阵 $ M $ 的 $ A_+(M) $，且当且仅当 $ \sum_j (1 - 1/m_j) \geq 2 $ 时在 $ R = \mathbb{C}[t,t^{-1}] $ 上自由，这对应于欧几里得或双曲几何。
• 本文提供了 $ \mathcal{H}(\Gamma) $ 的代数 PBW 定理，构造了无需依赖计算机辅助方法的典范基与滤子，尽管球面子代数中使用的幂等元并非齐次。