[论文解读] New Developments in Mean Curvature Flow of Arbitrary Codimension Inspired By Yau Rigidity Theory

Li Lei, Hongwei Xu|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 50被引用 6

一句话总结

该论文通过利用Yau的刚性理论，建立了任意余维子流形平均曲率流的新收敛定理，从而首次获得具有正 Ricci 曲率子流形的最优微分球面定理。研究证明，在特定曲率夹逼条件下，流要么坍缩为一个标准点，要么收敛于一个全测地子流形，这意味着初始子流形微分同胚于标准球面。

ABSTRACT

In this survey, we will focus on the mean curvature flow theory with sphere theorems, and discuss the recent developments on the convergence theorems for the mean curvature flow of arbitrary codimension inspired by the Yau rigidity theory of submanifolds. Several new differentiable sphere theorems for submanifolds are obtained as consequences of the convergence theorems for the mean curvature flow. It should be emphasized that Theorem 4.1 is an optimal convergence theorem for the mean curvature flow of arbitrary codimension, which implies the first optimal differentiable sphere theorem for submanifolds with positive Ricci curvature. Finally, we present a list of unsolved problems in this area.

研究动机与目标

• 将 Huisken 对超曲面的收敛定理推广至任意余维子流形，借助 Yau 的刚性理论。
• 在空间形式中（特别是球面和欧氏空间）建立平均曲率流的最优收敛准则。
• 由收敛定理推导出新的微分球面定理，尤其针对具有正 Ricci 曲率的子流形。
• 提出并列出关于高余维中曲率夹逼与流行为的若干开放猜想。

提出的方法

• 利用 Yau 对具有平行平均曲率的子流形的刚性理论，推导出曲率夹逼条件。
• 应用平均曲率流方程 ∂F/∂t = H，初始浸入为 F₀，研究子流形在空间形式中的演化。
• 对 |A|²、|H|²、Ricci 曲率和截面曲率施加夹逼条件，以确保流收敛至一个标准点或全测地子流形。
• 采用 Yau 参数法和面积的二阶变分，分析流下子流形的稳定性和刚性。
• 分析流解的最大时间区间，并在曲率有界条件下证明唯一性与光滑收敛性。
• 通过证明在夹逼条件下初始流形必微分同胚于 Sⁿ，推导出球面定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率夹逼条件下，空间形式中闭合子流形的平均曲率流会收敛至一个标准点或全测地子流形？
• RQ2 能否为具有正 Ricci 曲率的任意余维子流形建立最优微分球面定理？
• RQ3 在高余维中，平均曲率流蕴含球面微分同胚的最优夹逼常数是多少？
• RQ4 内在曲率条件（如 Ricci 曲率或截面曲率）如何控制平均曲率流在任意余维中的长期行为？
• RQ5 在迹零第二基本形式的 Lⁿ 或 L² 范数控制下，是否能保证流收敛至一个标准点或全测地子流形？

主要发现

• 定理 4.1 提供了任意余维中平均曲率流的首个最优收敛定理，从而首次获得具有正 Ricci 曲率子流形的最优微分球面定理。
• 若第二基本形式的平方模满足 |A|² < n[3 + n^{1/2} - (q-1)^{-1}]^{-1}，则子流形位于一个全测地的 S^{n+1} 中，证实了 Yau 的刚性猜想。
• 对于 S^{n+q} 中的子流形，若 Ric_M > (n-2)(c + |H|²/n²)，则流要么坍缩为一个标准点，要么收敛于一个全测地球面，从而蕴含 Sⁿ-微分同胚。
• 猜想 5.8（限制法向曲率振幅 |h(u,u) - h(v,v)|² < 4/3）蕴含球面微分同胚，其强度超过要求 |h(u,u)|² < 1/3 的猜想 5.7。
• 在 R³ 中的曲面情形，若 ∫|H|² dM < 8π²，则流坍缩为一个标准点，证实了 Willmore 猜想的一个更强版本。
• 本文证明，在迹零第二基本形式的 Lⁿ 范数控制下，流收敛至一个标准点或全测地子流形，从而导出一个新的球面定理。