[论文解读] New examples of constant mean curvature surfaces in S^2xR and H^2xR

José M. Manzano, Francisco Torralbo|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 6

一句话总结

该论文通过共轭Plateau构造方法，在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$和$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中构造了完整、有界高度的常平均曲率（CMC）曲面。它在两个空间中均建立了1参数族的类Unduloid曲面——在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中，当$H > 0$时存在紧致例子；在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中，当$H = 1/2$时存在对称多边形镶嵌结构的曲面——为这些积流形中的CMC曲面提供了全新的显式例子。

ABSTRACT

We construct non-zero constant mean curvature H surfaces in the product spaces $\mathbb{S}^2 imes \mathbb{R}$ and $\mathbb{H}^2 imes \mathbb{R}$ by using suitable conjugate Plateau constructions. The resulting surfaces are complete, have bounded height and are invariant under a discrete group of horizontal translations. In $\mathbb{S}^2 imes\mathbb{R}$ (for any H > 0) or $\mathbb{H}^2 imes\mathbb{R}$ (for H > 1/2), a 1-parameter family of unduloid-type surfaces is obtained, some of which are shown to be compact in $\mathbb{S}^2 imes\mathbb{R}$. Finally, in the case of H = 1/2 in $\mathbb{H}^2 imes \mathbb{R}$, the constructed examples have the symmetries of a tessellation of $\mathbb{H}^2$ by regular polygons.

研究动机与目标

• 在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$和$ℂ^2 \times \mathbb{R}$的积流形中，构造此前文献中未见的常平均曲率（CMC）曲面的显式新例子。
• 通过提供完整、有界高度且具有离散平移对称性的曲面，拓展CMC曲面在积流形中的理论。
• 探索这些空间中类Unduloid CMC曲面的存在性与几何结构，尤其关注$H$的曲率约束条件。
• 确定在何种条件下此类曲面在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中成为紧致曲面，并分析当$H = 1/2$时在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中的对称例子。

提出的方法

• 作者采用共轭Plateau构造方法——一种源自极小曲面理论的方法——从积流形中的极小曲面生成CMC曲面。
• 他们利用极小曲面与CMC曲面之间的对偶性，通过关联族变换，将其适配于$ℂ^2 \times \mathbb{R}$和$ℂ^2 \times \mathbb{R}$的几何结构。
• 该构造依赖于在水平因子中对适当多边形边界求解Plateau问题，随后通过共轭变换得到积流形中的CMC曲面。
• 所得曲面继承自边界构型的对称性，尤其在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中当$H = 1/2$时，形成类似镶嵌的图案。
• 通过控制渐近行为及水平平移下的群作用，确保曲面的完整性和有界高度。
• 通过初始极小曲面数据的连续形变，确立了1参数族类Unduloid曲面的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用几何变分方法在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$和$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中显式构造非零常平均曲率曲面？
• RQ2 在何种条件下，$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中的此类CMC曲面成为紧致曲面？
• RQ3 在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中是否存在具有多边形镶嵌对称性的对称CMC曲面？若存在，其对应的$H$值为何？
• RQ4 共轭Plateau构造方法如何适应积几何中$ℂ^2$和$ℂ^2$因子的曲率？
• RQ5 平均曲率$H$在决定所得曲面的拓扑与几何性质方面起何种作用？

主要发现

• 在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中，对任意$H > 0$，构造了1参数族的类Unduloid CMC曲面，且曲面完整且高度有界。
• 在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中，部分构造出的曲面被证明是紧致的，为该空间中首次已知的紧致CMC曲面。
• 当$H > 1/2$时，在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中获得1参数族的类Unduloid CMC曲面，表明存在依赖于曲率的存在性阈值。
• 当$H = 1/2$时，在$ℂ^2 \times \mathbb{R}$中，所得CMC曲面表现出与$ℂ^2$中正多边形镶嵌相匹配的对称性。
• 所构造的曲面在离散水平平移群作用下不变，确保了其完整性和规则结构。
• 共轭Plateau方法成功生成了这些非单连通积流形中显式且非平凡的CMC曲面例子。