[论文解读] New examples of cylindrical Fano fourfolds

Yuri Prokhorov, Mikhail Zaidenberg|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 4

一句话总结

该论文通过从五次度的 del Pezzo 四fold 出发，利用 Sarkisov 链，构造了新的光滑 Fano 四fold 家族，其 Picard 秩为 1 且包含柱面——即与 $ Z \times \mathbb{A}^1 $ 双有理等价的 Zariski 开子集。关键贡献在于显式构造了 genus 9 和 10 的柱面 Mukai 四fold，从而表明其仿射锥上存在有效的 $ \mathbb{G}_a $-作用。

ABSTRACT

We construct new families of smooth Fano fourfolds with Picard rank 1, which contain cylinders, i.e., Zariski open subsets of form $Z imes A^1$, where $Z$ is a quasiprojective variety. The affine cones over such a fourfold admit effective $G_a$-actions. Similar constructions of cylindrical Fano threefolds and fourfolds were done previously in [KPZ11, KPZ14, PZ15].

研究动机与目标

• 构造新的光滑 Fano 四fold 家族，其 Picard 秩为 1 且包含柱面。
• 将先前关于柱面 Fano 三fold 和四fold 的结果推广至更高 genus 的 Mukai 四fold。
• 通过从五次度 del Pezzo 四fold 出发的几何链接，建立 genus 9 和 10 柱面 Mukai 四fold 的存在性。
• 为更高 genus 中柱面 Mukai 四fold 的存在性提供证据，回应关于柱面性与有理性的开放问题。

提出的方法

• 从光滑的五次度 del Pezzo 四fold $ W_5 \subset \mathbb{P}^7 $ 出发，利用 Sarkisov 链。
• 通过沿特定曲面（一个有理正规五次柱面 $ F \cong \mathbb{F}_1 $ 或一个反canonical 六次 del Pezzo 曲面）的爆破来构造链接。
• 将正向映射 $ \phi: W \dashrightarrow V \subset \mathbb{P}^{g+2} $ 定义为通过 $ F $ 的二次系，反向映射则通过从 $ V $ 中曲面 $ S \subset V $ 的线性张量投影得到。
• 验证所得 $ V $ 为光滑的 Mukai 四fold，其 genus 为 $ g=9 $ 或 $ g=10 $，满足 $ \operatorname{Pic}(V) = \mathbb{Z} \cdot L $ 且 $ -K_V = 2L $。
• 利用同构 $ V \setminus \varphi(D) \cong W \setminus \rho(\tilde{E}) $ 证明其像包含柱面，该柱面继承自原始 $ W $。
• 应用 [KPZ13] 中已知的准则，得出仿射锥上存在有效的 $ \mathbb{G}_a $-作用当且仅当 $ V $ 是柱面的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过从五次度 del Pezzo 四fold 出发的几何链接，构造出 genus 9 和 10 的新柱面 Mukai 四fold 家族？
• RQ2 嵌入 $ W_5 $ 中的曲面需满足何种条件，才能保证通过 Sarkisov 链产生光滑的柱面 Mukai 四fold？
• RQ3 所有 genus $ g \geq 7 $ 的 Mukai 四fold 是否都具有柱面结构，抑或此类例子稀少？
• RQ4 Fano 四fold 中柱面的存在性如何与有理性和 $ \mathbb{A}^4 $ 的紧化相关联？

主要发现

• 该论文构造了两个新的光滑柱面 Mukai 四fold 家族：$ V_{16} \subset \mathbb{P}^{11} $（genus 9）和 $ V_{18} \subset \mathbb{P}^{12} $（genus 10）。
• 这些四fold 通过从五次度 del Pezzo 四fold $ W_5 \subset \mathbb{P}^7 $ 出发的 Sarkisov 链构造，使用了特定类型的曲面 $ F \subset W_5 $，其类型为 $ \mathbb{F}_1 $ 或反canonical 六次 del Pezzo 曲面。
• 通过同构 $ V \setminus \varphi(D) \cong W \setminus \rho(\tilde{E}) $ 建立了 $ V $ 中柱面的存在性，该柱面继承自原始 $ W $。
• 每个此类 $ V $ 的仿射锥上均存在有效的 $ \mathbb{G}_a $-作用，这由 [KPZ13] 中的准则保证。
• 对于 $ g=9 $ 和 $ g=10 $，Mukai 四fold 是有理的，这通过 Fano-Iskovskikh 双重投影及在 $ \mathbb{C}(\mathbb{P}^1) $ 上的 Tsen 定理得以证明。
• 该构造证实了在 genus 9 和 10 时柱面 Mukai 四fold 的存在性，扩展了此前对 $ g=7,8 $ 的结果。