[论文解读] New heuristics for burning graphs

Zahra Rezai Farokh, Maryam Tahmasbi+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文提出了图燃烧问题的六个新颖启发式算法，该问题是近期定义的NP难问题，用于建模网络中的传播过程。这些启发式算法在激活节点选择策略上有所不同，并在DIMACS、BHOSLIB、theta图以及具有已知聚类距离的随机图上进行了评估，超过98%的情况下达到最优或近似最优结果，同时将基于聚类距离的图燃烧数上界改进为⌈√d⌉ + 2。

ABSTRACT

The concept of graph burning and burning number ($bn(G)$) of a graph G was introduced recently [1]. Graph burning models the spread of contagion (fire) in a graph in discrete time steps. $bn(G)$ is the minimum time needed to burn a graph $G$.The problem is NP-complete. In this paper, we develop first heuristics to solve the problem in general (connected) graphs. In order to test the performance of our algorithms, we applied them on some graph classes with known burning number such as theta graphs, we tested our algorithms on DIMACS and BHOSLIB that are known benchmarks for NP-hard problems in graph theory. We also improved the upper bound for burning number on general graphs in terms of their distance to cluster. Then we generated a data set of 2000 random graphs with known distance to cluster and tested our heuristics on them.

研究动机与目标

• 开发适用于任意连通图的图燃烧问题的首批通用启发式算法。
• 在标准NP难基准数据集（DIMACS和BHOSLIB）以及具有已知燃烧数的图上评估启发式算法的性能。
• 改进基于聚类距离的燃烧数的理论上限。
• 在包含2000个具有已知聚类距离的随机图的新数据集上生成并测试启发式算法。

提出的方法

• 提出六种不同的启发式算法，其在首次激活节点的选择及后续激活节点的顺序上基于距离度量（如最远距离、中心性）而有所不同。
• 使用由一条中心路径和连接的完全图组成的路径基图结构，以建模具有已知聚类距离的图。
• 将启发式算法应用于DIMACS和BHOSLIB数据集，以评估其在标准NP难问题基准上的性能。
• 生成2000个具有受控聚类距离（d）的随机图，并将启发式算法与理论上的⌈√d⌉ + 2上界进行评估。
• 证明一个新的上界：对于图G，若存在顶点集A使得G[V∖A]为聚类图，则bn(G) ≤ bn(G[A]) + 2。
• 将启发式结果与精确值及先前工作的理论边界进行比较，以验证性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于图燃烧问题的NP完全性及此前缺乏算法解决方案，能否为一般连通图开发出有效的启发式算法？
• RQ2 所提出的启发式算法在DIMACS和BHOSLIB等标准NP难图基准上的表现如何？
• RQ3 能否改进基于聚类距离的燃烧数上界？启发式算法相对于该上界的表现如何？
• RQ4 在具有受控聚类距离的随机图上，启发式算法在多大程度上实现了或接近已知的理论最优上界？

主要发现

• 在DIMACS数据集的78个图中，启发式算法在71个图中达到了最优燃烧数；在BHOSLIB数据集的36个图中全部达到最优。
• 在2000个随机生成的theta图中，有1208个图的启发式算法计算出的燃烧序列长度小于或等于已知上界。
• 对于聚类距离为d的图，改进后的理论上限为⌈√d⌉ + 2，该结果优于先前的3d + 3上界。
• 在2000个具有已知聚类距离的随机图中，有1961个图的启发式算法实现的燃烧数小于或等于新的理论上限⌈√d⌉ + 2。
• 启发式算法Ctr-Half dist、Rnd-Half dist和Rnd-Far dist表现最为稳定，共在1708种情况下找到了最小解。
• 结果表明，基于最远距离和随机选择激活节点的启发式策略在多种图类上均表现出优越性能。