[论文解读] New observations on cohomology rings of Reeb spaces of explicit fold maps and manifolds admitting these maps

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了在特定流形上折叠映射的新构造方法，并计算了其Reeb空间的上同调环，揭示了新的拓扑类型。通过在稳定折叠映射上应用S-鼓泡操作及连通和运算，作者构造了新的折叠映射，其Reeb空间的上同调环在ℤ上同构，但在ℤ/pℤ或ℤ/2pℤ上不同构，展示了Reeb空间不变量中新的拓扑区分方式。

ABSTRACT

As a branch of algebraic and differential topology of manifolds, the theory of Morse functions and their higher dimensional versions or fold maps and its application to algebraic and differential topology of manifolds is fundamental, important and interesting. This paper is on explicit construction of fold maps and homology groups and cohomology rings of their Reeb spaces: they are defined as the spaces of all connected components of preimages of the maps, and in suitable situations inherit some topological information such as homology groups and cohomology rings of the manifolds. Explicit construction of the maps is a fundamental and difficult task even on manifolds which are not so complicated. The author has constructed explicit fold maps systematically and performed several calculations of homology groups and cohomology rings of the Reeb spaces. This paper concerns new observations on this task.

研究动机与目标

• 系统地在流形上构造显式的折叠映射，通过Reeb空间研究其拓扑不变量。
• 计算并比较这些折叠映射所生成的Reeb空间的上同调环。
• 识别出在ℤ上不可区分但在有限环上可区分的新Reeb空间拓扑类型。
• 开发一种通过S-鼓泡和连通和运算生成具有受控同调与上同调性质的新稳定折叠映射的方法。

提出的方法

• 作者在稳定特殊通用映射上使用S-鼓泡操作生成新的折叠映射，生成多面体被置于原映射Reeb空间的内部。
• 在原始折叠映射与S-鼓泡操作有限次迭代的结果之间进行连通和运算，以生成新的折叠映射。
• 该构造确保所得Reeb空间的同调模与原模及指定模G_j在主理想整环R上的直和同构。
• 通过自然投影保持上同调环结构，仅在度n处添加一个子模H，其中H是G_n的子模。
• 该方法依赖于所有气泡预像的连通分支微分同胚于一个固定的同伦球面的假设，从而保持同伦类与拓扑控制。
• 理论工具包括将Reeb空间视为流形关于预像连通分支的商空间，以及应用稳定折叠映射理论和同伦球面分类结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地构造新的折叠映射，使其Reeb空间的上同调环在ℤ上同构，但在ℤ/pℤ或ℤ/2pℤ上不同构？
• RQ2 S-鼓泡操作如何被迭代并结合连通和运算以控制Reeb空间的同调与上同调性质？
• RQ3 在什么条件下可确保新折叠映射的Reeb空间在其主理想整环上的同调模具有预定的分解？
• RQ4 Reeb空间的上同调环结构在何种意义上区分了折叠映射的新拓扑类型？

主要发现

• 通过S-鼓泡与连通和构造的折叠映射的Reeb空间，其同调模与原模及给定模G_j在主理想整环R上的直和同构。
• 当j < n时，上同调环H^j(W_{f''}; R)同构于H^j(W_f; R) ⊕ G_j，同构由自然投影诱导。
• 在度n处，上同调模H^n(W_{f''}; R)同构于H^n(W_f; R) ⊕ H，其中H是G_n的非平凡自由子模。
• 新Reeb空间的上同调环通过H^*(W_{f'}; R)的乘积与自然投影的复合构造，仅在度n处结构发生改变。
• 所构造的Reeb空间表现出新的拓扑类型：其上同调环在ℤ上同构，但在ℤ/pℤ或ℤ/2pℤ上不同构，展示了微妙但重要的区分。
• 该方法成功生成了Reeb空间上同调环与先前构造（如[8]中所示）不相交的折叠映射，即使在ℤ上环同构的情况下亦如此。