[论文解读] New Polynomial Preconditioned GMRES.

Jennifer Loe, Ronald B. Morgan|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2019

Matrix Theory and Algorithms参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新的GMRES多项式预条件子，其源自最小残差多项式，可高效且稳定地求解大规模线性系统。该方法显著加速了收敛速度并减少了点积运算次数，在困难问题上优于BiCGStab和FGMRES等方法，通过增加根和专用稳定性检查实现了额外的稳定性。

ABSTRACT

A new polynomial preconditioner is given for solving large systems of linear equations. The polynomial is derived from the minimum residual polynomial and is straightforward to compute and implement. It this paper, we study the polynomial preconditioner applied to GMRES, however it could be used with any Krylov solver. This preconditioning algorithm can dramatically improve convergence for difficult problems and can reduce dot products by an even greater margin. Stability control using added roots allows for high degree polynomials, and we give an additional check for stability. This approach is compared to existing methods such as BiCGStab and FGMRES.

研究动机与目标

• 开发一种新型多项式预条件子，以改善使用GMRES求解大规模、困难线性系统时的收敛性。
• 设计一种计算和实现简单且保持数值稳定性的预条件子。
• 减少Krylov求解器中的点积次数，提升计算效率。
• 通过添加根实现稳定性控制，从而支持高次多项式。
• 提供稳健的稳定性检查，以确保在实际应用中性能可靠。

提出的方法

• 预条件子源自最小残差多项式，确保每一步都能实现最优残差减少。
• 该方法在GMRES框架内应用多项式预条件子，提升收敛性，同时不改变Krylov子空间结构。
• 通过向多项式中添加额外根来改善稳定性，从而在不发生数值崩溃的情况下支持更高次多项式。
• 实现了专用的稳定性检查，以监控并控制计算过程中的潜在不稳定性。
• 该方法具有通用性，可应用于任何Krylov子空间方法，而不仅限于GMRES。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一种多项式预条件子，以显著提升GMRES在困难线性系统上的收敛性能？
• RQ2 使用这种新型预条件策略，能否在GMRES中显著减少点积次数？
• RQ3 在不损害稳定性的前提下，能否有效使用高次多项式进行预条件处理？
• RQ4 与BiCGStab和FGMRES等成熟方法相比，所提出的预条件子在性能上表现如何？
• RQ5 添加根和稳定性检查在实现稳健的高次多项式预条件处理中起到何种作用？

主要发现

• 与标准GMRES相比，该新型多项式预条件子在困难线性系统上显著加速了收敛。
• 该方法在点积次数上的减少程度远超残差减少的幅度，从而显著提升了计算效率。
• 通过添加根实现的稳定性控制，使得高次多项式可被安全使用而不会引发数值问题。
• 稳定性检查确保了在各类问题类型中均能保持可靠性能，防止在敏感情况下发生崩溃。
• 在收敛速度和困难问题上的鲁棒性方面，该预条件子优于BiCGStab和FGMRES。