[论文解读] New results on Noncommutative and Commutative Polynomial Identity Testing

V. Arvind, Partha Mukhopadhyay+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于自动机理论技术的非交换电路和黑箱多项式确定性多项式时间恒等测试方法，实现了对非交换代数分支程序的完整重构，并将高效的恒等测试从域推广到具有单位元的有限交换环上的多项式。

ABSTRACT

Using ideas from automata theory we design a new efficient (deterministic) identity test for the noncommutative polynomial identity testing problem (first introduced and studied in [RS05, BW05]). More precisely, given as input a noncommutative circuit C(x1, · · · , xn) computing a polynomial in F{x1, · · · , xn} of degree d with at most t monomials, where the variables xi are noncommuting, we give a deterministic polynomial identity test that checks if C ≡ 0 and runs in time polynomial in d, n, |C|, and t. The same methods works in a black-box setting: Given a noncommuting black-box polynomial f ∈ F{x1, · · · , xn} of degree d with t monomials we can, in fact, reconstruct the entire polynomial f in time polynomial in n, d and t. Indeed, we apply this idea to the reconstruction of black-box noncommuting algebraic branching programs (the ABPs considered by Nisan in [N91] and Raz-Shpilka in [RS05]). Assuming that the black-box model allows us to query the ABP for the output at any given gate then we can reconstruct an (equivalent) ABP in deterministic polynomial time. Finally, we turn to commutative identity testing and explore the complexity of the problem when the coefficients of the input polynomial come from an arbitrary finite commutative ring with unity whose elements are uniformly encoded as strings and the ring operations are given by an oracle. We show that several algorithmic results for polynomial identity testing over fields also hold when the coefficients come from such finite rings. 1

研究动机与目标

• 为具有有界次数和单项式数量的非交换电路开发一种高效的确定性恒等测试方法。
• 在确定性多项式时间内实现对黑箱非交换多项式和代数分支程序（ABPs）的完整重构。
• 将多项式恒等测试算法从域扩展到任意具有单位元的有限交换环，其中操作可通过预言机访问。
• 将已知的基于域的恒等测试结果推广至具有统一字符串编码的更广泛有限环设置。

提出的方法

• 利用自动机理论思想，为具有次数 d、n 个变量且最多 t 个单项式的非交换电路设计一种确定性恒等测试方法。
• 利用非交换单项式的结构，通过有限自动机模拟其求值，实现高效的恒等检查。
• 将同一框架应用于从黑箱访问中在 n、d 和 t 的多项式时间内重构整个多项式。
• 通过用预言机提供的环操作替代域操作，将恒等测试方法适配至具有单位元的有限交换环。
• 采用黑箱模型，其中对 ABP 的查询在指定门处返回输出值，从而实现对等价 ABP 的确定性重构。
• 将环上的恒等测试问题约化为等价的域上问题，在统一编码和预言机访问下保持效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用自动机理论方法，为具有有界次数和单项式数量的非交换电路构造一种确定性多项式时间恒等测试？
• RQ2 是否可能在确定性多项式时间内，通过预言机查询重构非交换黑箱多项式或 ABP？
• RQ3 基于域的高效恒等测试结果是否可扩展至具有任意有限交换环系数的多项式？
• RQ4 当环操作通过预言机而非直接计算访问时，恒等测试的复杂度如何变化？
• RQ5 非交换单项式的结构能否被利用来设计 ABP 的黑箱重构算法？

主要发现

• 开发了一种针对非交换电路的确定性多项式时间恒等测试方法，运行时间在 d、n、|C| 和 t 上为多项式时间。
• 相同方法可在 n、d 和 t 的多项式时间内实现对具有 t 个单项式的黑箱非交换多项式的完整重构。
• 可从对任意门输出的黑箱访问中，在确定性多项式时间内重构等价的代数分支程序。
• 在操作可通过预言机访问的前提下，域上恒等测试的结果可推广至任意具有单位元的有限交换环上的多项式。
• 该框架在环元素的统一字符串编码和基于预言机的环操作下保持效率与正确性。
• 该方法在自动机理论与代数复杂性之间建立了桥梁，为非交换和基于环的恒等测试提供了新的算法解决方案。