[论文解读] New series for some special values of $L$-functions

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2010

Advanced Mathematical Identities参考文献 19被引用 17

一句话总结

本文提出了48个关于L函数和zeta函数特殊值的新的猜想级数，主要涉及中心二项系数、调和数和狄利克雷特征。通过模 $p^2$ 和 $p$ 的同余变换定理以及大量数值计算，作者提出了收敛速度极快的级数——例如 $ sum_{k=1}^{ inf}rac{1}{k^4inom{2k}{k}} Bigl(rac{1}{k}+ sum_{j=k}^{2k}rac{1}{j} Bigr) = frac{11}{9} ze(5)$——为计算多重zeta值和特殊L值提供了新途径。

ABSTRACT

Dirichlet's $L$-functions are natural extensions of the Riemann zeta function. In this paper we first give a brief survey of Apéry-like series for some special values of the zeta function and certain $L$-functions. Then, we establish two theorems on transformations of certain kinds of congruences. Motivated by the results and based on our computation, we pose 48 new conjectural series (most of which involve harmonic numbers) for such special values and related constants. For example, we conjecture that \begin{align*}\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^4\binom{2k}k}\bigg(\frac1k+\sum_{j=k}^{2k}\frac1j\bigg)=&\frac{11}9ζ(5), \\\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k^3\binom{2k}k}\bigg(\frac1{5k^3}+\sum_{j=1}^{k}\frac1{j^3}\bigg)=&\frac{2}5ζ(3)^2, \end{align*} and $$\sum_{k=1}^\infty\frac{48^k}{k(2k-1)\binom{4k}{2k}\binom{2k}k}=\frac{15}2\sum_{k=1}^\infty\frac{(\frac k3)}{k^2},$$ where $(\frac k3)$ denotes the Legendre symbol.

研究动机与目标

• 通过同余关系的新变换方法，扩展黎曼zeta函数和狄利克雷L函数特殊值的阿佩里型级数。
• 利用调和数结构，发现 $ ze(3)$、$ ze(4)$、$ ze(5)$、$ ze(6)$ 及相关常数的新快速收敛级数。
• 提出涉及调和数阶 $m$、中心二项系数和勒让德符号的L函数值的猜想。
• 为未来证明这些猜想恒等式提供计算与理论基础。

提出的方法

• 推导模 $p^2$ 和 $p$ 的特定同余类的变换定理，特别涉及中心二项系数和调和和。
• 通过数值计算识别模式，并猜想特殊L值和zeta值的新级数。
• 利用 $ arsin^n(x/2)$ 及其导数的已知生成函数，将含调和数和的级数联系起来。
• 通过计算启发式方法隐式使用PSLQ算法，发现级数恒等式中的整数关系。
• 引入广义调和和 $H_k^{(m)}$ 与 $H_k^{(m)}(a)$，以表达级数中的部分和。
• 利用伯努利数和勒让德符号分析部分和的 $p$-进性质，以支持猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用调和数结构，发现 $ ze(5)$、$ ze(3)^2$ 及其他特殊L值的新快速收敛级数？
• RQ2 中心二项系数和勒让德符号在构造L函数与多重zeta值恒等式中起什么作用？
• RQ3 模 $p^2$ 和 $p$ 的同余变换如何揭示无穷级数中更深层的算术结构？
• RQ4 阿佩里型级数的结构能否推广至包含嵌套调和和与交错符号？
• RQ5 涉及 $ sum_{j=0}^k \frac{1}{(2j+1)^m}$ 的级数与 $ pi$、$ ze(3)$、$G$ 和 $t(4)$ 等已知常数之间有何关联？

主要发现

• 猜想级数 $ sum_{k=1}^{\tinf}\frac{1}{k^4\binom{2k}{k}}\tBigl(\frac{1}{k}+\tsum_{j=k}^{2k}\frac{1}{j}\tBigr)$ 等于 $\tfrac{11}{9}\tze(5)$，为 $ ze(5)$ 提供了新的表示形式。
• 提出恒等式 $ sum_{k=1}^{\tinf}\frac{(-1)^{k-1}}{k^3\binom{2k}{k}}\tBigl(\frac{1}{5k^3}+\tsum_{j=1}^k\frac{1}{j^3}\tBigr) = \tfrac{2}{5}\tze(3)^2$，作为新的双zeta值级数。
• 猜想级数 $ sum_{k=1}^{\tinf}\frac{48^k}{k(2k-1)\binom{4k}{2k}\binom{2k}{k}}$ 等于 $\tfrac{15}{2}\tsum_{k=1}^{\tinf}\frac{(\frac{k}{3})}{k^2}$，将中心二项系数与狄利克雷L函数联系起来。
• 猜想5.2(i) 给出 $ sum_{k=0}^{\tinf}\frac{\binom{2k}{k}}{(2k+1)16^k}\tBigl(12\tsum_{j=0}^k\frac{(-1)^j}{(2j+1)^2}-\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\tBigr) = 4\tpi G$，将级数与卡塔兰常数 $G$ 联系起来。
• 猜想5.3(i) 提出 $ sum_{k=0}^{\tinf}\frac{\binom{2k}{k}}{(2k+1)16^k}\tBigl(8\tsum_{j=0}^k\frac{(-1)^j}{(2j+1)^4}+\frac{(-1)^k}{(2k+1)^4}\tBigr) = \tfrac{11}{120}\tpi^2\tze(3)+\tfrac{8}{3}\tpi\bt(4)$，与 $t(4)$ 相关。
• 同余式 $\tsum_{k=0}^{(p-3)/2}\frac{\binom{2k}{k}}{(2k+1)^2(-16)^k}\tBigl(5\tsum_{j=0}^k\frac{1}{(2j+1)^3}+\frac{1}{(2k+1)^3}\tBigr) \equiv \tfrac{B_{p-5}}{8} \pmod{p}$ 通过算术性质支持了猜想恒等式。