[论文解读] New versions of Schur-Weyl duality

Stephen Doty|ArXiv.org|Apr 14, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文通过引入 $Γ\mathsf{GL}_n$ 的伴随表示的新对偶性，将经典设定下的舒尔-外尔对偶性推广。研究发现，$Δ\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ 的中心化子代数同构于墙式布拉厄代数的一个子代数——即“错位代数”——其维数等于 $2r$ 个元素的错位数。这为舒尔-外尔对偶性提供了一种新的实现方式，其组合结构与错位数紧密相关。

ABSTRACT

After reviewing classical Schur-Weyl duality, we present some other contexts which enjoy similar features, relating to Brauer algebras and classical groups.

研究动机与目标

• 将经典的舒尔-外尔对偶性推广到标准表示 $V = \mathbb{C}^n$ 被伴随表示 $\mathfrak{sl}_n$ 取代的情形。
• 在 $V$ 被替换为 $\mathfrak{sl}_n$（非基本表示）时，确定中心化子代数 $\operatorname{End}_{\mathsf{GL}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$。
• 建立一种新的舒尔-外尔对偶性，其中对称群被与错位相关的墙式布拉厄代数的子代数所取代。
• 通过错位数，将 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ 的表示理论与组合学联系起来，特别是通过平凡模和伴随模的重数。

提出的方法

• 利用分解 $\mathfrak{gl}_n = \mathfrak{sl}_n \oplus \mathbb{C}$，将 $\mathfrak{gl}_n^{\otimes r}$ 表示为包含 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ 的直和，将 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ 嵌入 $V^{r,r} = V^{\otimes r} \otimes V^{*\otimes r}$ 的直和项中。
• 将 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ 识别为对应于等幂元 $e = \prod_i (1 - n^{-1} c_{i,-i})$ 的投影算子 $e$ 的像，其中 $c_{i,-i}$ 是墙式布拉厄代数中的某些算子。
• 将中心化子代数 $\mathcal{C} = \operatorname{End}_{\mathsf{GL}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$ 实现为墙式布拉厄代数 $\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}$ 的子代数 $e \mathcal{B}_{r,r}^{(n)} e$。
• 证明 $e \mathcal{B}_{r,r}^{(n)} e$ 的基对应于不包含连接 $i$ 与 $-i$ 的水平边的图，这些图与 $2r$ 个元素的错位一一对应。
• 使用容斥原理计算 $e \mathcal{B}_{r,r}^{(n)} e$ 的维数为 $N(2r) = \sum_{j=0}^{2r} (-1)^{2r-j} \binom{2r}{j} j!$，即 $2r$ 个对象的错位数。
• 在 $n \geq 2r$ 时，建立舒尔-外尔对偶性形式：$\rho(\mathbb{C}\mathsf{GL}_n) = \operatorname{End}_{e\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}e}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$ 与 $\sigma(e\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}e) = \operatorname{End}_{\mathsf{GL}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$，从而将经典对偶性推广至伴随表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathsf{GL}_n$ 作用下，$\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ 的中心化子代数是什么？
• RQ2 如何将 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ 的表示理论与错位的组合学联系起来？
• RQ3 舒尔-外尔对偶性能否推广至伴随表示 $\mathfrak{sl}_n$ 而非标准表示 $V$？
• RQ4 对应于投影到 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ 的投影算子的墙式布拉厄代数中的子代数 $e \mathcal{B}_{r,r}^{(n)} e$ 的结构是什么？
• RQ5 在 $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ 中，不可约 $\mathsf{GL}_n$-模的重数是多少？它们与错位数有何关系？

主要发现

• 中心化子代数 $\operatorname{End}_{\mathsf{GL}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$ 同构于墙式布拉厄代数 $\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}$ 的子代数 $e \mathcal{B}_{r,r}^{(n)} e$。
• 中心化子代数的维数为 $N(2r)$，即 $2r$ 个对象的错位数，通过容斥原理计算：$N(2r) = \sum_{j=0}^{2r} (-1)^{2r-j} \binom{2r}{j} j!$。
• $e \mathcal{B}_{r,r}^{(n)} e$ 代数因其基与 $2r$ 个元素的错位一一对应，而被称为“错位代数”。
• $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ 中平凡表示的重数为 $N(r)$，即 $r$ 个对象的错位数。
• $\mathfrak{sl}_n^{\otimes r}$ 中伴随表示 $\mathfrak{sl}_n$ 的重数为 $N(r-1)$，即 $r-1$ 个对象的错位数。
• 当 $n \geq 2r$ 时，舒尔-外尔对偶性成立：$\rho(\mathbb{C}\mathsf{GL}_n) = \operatorname{End}_{e\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}e}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$ 与 $\sigma(e\mathcal{B}_{r,r}^{(n)}e) = \operatorname{End}_{\mathsf{GL}_n}(\mathfrak{sl}_n^{\otimes r})$，从而将经典对偶性推广至伴随表示。