[论文解读] Newton-Okounkov convex bodies of Schubert varieties and polyhedral realizations of crystal bases

Naoki Fujita, Satoshi Naito|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文通過特定的賦值，建立了施伯特流形的牛頓-奧昆科夫凸體與大島晶體的那卡希馬-澤列文斯基多面體實現之間的精確對應關係。證明了相對於簡約字串和最高項賦值的牛頓-奧昆科夫凸體等於大島晶體的多面體模型，並進一步表明，神田的對合運算對應於有理函數域上賦值的變換。

ABSTRACT

A Newton-Okounkov convex body is a convex body constructed from a projective variety with a valuation on its homogeneous coordinate ring; this is deeply connected with representation theory. For instance, the Littelmann string polytopes and the Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg polytopes are examples of Newton-Okounkov convex bodies. In this paper, we prove that the Newton-Okounkov convex body of a Schubert variety with respect to a specific valuation is identical to the Nakashima-Zelevinsky polyhedral realization of a Demazure crystal. As an application of this result, we show that Kashiwara's involution (*-operation) corresponds to a change of valuations on the rational function field.

研究动机与目标

• 透過牛頓-奧昆科夫凸體建立大島晶體的具體幾何實現。
• 證明相對於特定賦值的施伯特流形牛頓-奧昆科夫凸體等於對應大島晶體的那卡希馬-澤列文斯基多面體模型。
• 釐清神田對合運算在有理函數域賦值變換下的幾何意義。

提出的方法

• 利用施伯特流形的函數域上相對於簡約字串的最高項賦值，構造牛頓-奧昆科夫凸體。
• 將賦值半群識別為晶體基在那卡希馬-澤列文斯基多面體實現映射下的像。
• 透過指數映射的雙有理參數化，將函數域識別為 r 個變數的有理函數域。
• 應用由晶體運算導出的分段線性映射，將多面體模型與牛頓-奧昆科夫凸體關聯起來。
• 運用晶體基與大島模理論，將表示論結構與代數幾何聯繫起來。
• 透過對偶化下多面體模型的變換分析，證明神田對合運算對應於賦值的變換。

实验结果

研究问题

• RQ1 相對於特定賦值的施伯特流形牛頓-奧昆科夫凸體是否與對應大島晶體的那卡希馬-澤列文斯基多面體實現同構？
• RQ2 牛頓-奧昆科夫凸體的結構如何反映晶體基的組合性質？
• RQ3 神田對合運算在施伯特流形函數域賦值下的幾何解釋為何？
• RQ4 能否透過適當的賦值，將大島晶體的多面體模型實現為牛頓-奧昆科夫凸體？
• RQ5 定義牛頓-奧昆科夫凸體的不等式與串多面體及大島晶體定義條件之間有何關係？

主要发现

• 相對於最高項賦值 $v_{\bf i}$ 的施伯特流形牛頓-奧昆科夫凸體，與對應大島晶體的那卡希馬-澤列文斯基多面體實現完全相同。
• 當 $G=SL_3(\bbC)$ 時，多面體實現 $\triangle_{\bf i}^{(\rho,w_0)}$ 為 $\{ (a_1,a_2,a_3) ∈ ℝ^3 ∣ 0\leq a_1\leq1, 0\leq a_3\leq1, a_3\leq a_2\leq a_1+1 \}$，與牛頓-奧昆科夫凸體一致。
• 當 $G=Sp_4(\bbC}$ 時，多面體實現 $\triangle_{\bf i}^{(\rho,w_0)}$ 定義為 $0\leq a_1\leq1$, $0\leq a_2\leq a_1+1$, $0\leq a_3\leq\min\{a_2+1,2a_2\}$, 以及 $0\leq 2a_4\leq\min\{2,a_3\}$，與牛頓-奧昆科夫凸體一致。
• 對於 $Sp_4(\bbC)$，串多面體 $\tld{\triangle}_{{\bf i}^{\rm op}}^{(\rho,w_0)}$ 為 $0\leq a_4\leq1$, $a_4\leq a_3\leq a_4+1$, $a_3\leq a_2\leq 2a_3-2a_4+1$, 以及 $0\leq a_1\leq a_2-2a_3+a_4+1$，確認了對偶性。
• 分段線性映射 $η_{\bf i}$ 將多面體實現與串多面體之間建立雙射，證明在給定參數化下兩者等價。
• 神田對合運算對應於有理函數域上的賦值變換，此點由多面體模型與串多面體之間的對偶性所證明。