[论文解读] Nijenhuis infinity and contractible dg manifolds

Sergei Merkulov|ArXiv.org|Mar 15, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文引入了一个极小微分graded（dg）operad $N_{\infty}$，其在 $\mathbb{R}^n$ 中的通用表示分类了满足Nijenhuis可积性条件的Nijenhuis张量的正式芽——即切丛上的自同态。该operad作为同调平凡dg李代数的二次operad的cobar构造而产生，本文证明极小 $N_{\infty}$-代数同伦等价于可缩dg流形，从而为Nijenhuis几何提供了强有力的同伦推广。

ABSTRACT

We find a minimal differential graded (dg) operad whose generic representations in $R^n$ are in one-to-one correspondence with formal germs of those endomorphisms of the tangent bundle to $R^n$ which satisfy the Nijenhuis integrability condition. This operad is of a surprisingly simple origin -- it is the cobar construction on the quadratic operad of homologically trivial dg Lie algebras. As a by product we obtain a strong homotopy generalization of this geometric structure and show its homotopy equivalence to the structure of contractible dg manifold.

研究动机与目标

• 使用operad方法发展Nijenhuis几何的强同伦推广。
• 识别控制 $\mathbb{R}^n$ 上Nijenhuis张量正式芽的极小dg operad。
• 建立 $N_\infty$-代数与可缩dg流形之间的对应关系。
• 通过operad的极小化解，将形变理论框架扩展至包含复结构和Nijenhuis结构等几何结构。

提出的方法

• 将极小dg operad $N_{\infty}$ 构造为同调平凡dg李代数的二次operad的cobar构造。
• 将Nijenhuis结构表示为无穷多组多重线性映射 $J_k: \otimes^{k+1}V \to V$，满足二次关系。
• 通过形式邻域 $\hat{V}$ 上的微分形式 $\Gamma$ 定义 $N_{\infty}$-结构，满足 $\mathcal{L}_{\eth}\Gamma + \frac{1}{2}[\Gamma \bullet \Gamma] = 0$。
• 利用cobar构造在 $\mathcal{M} = \hat{V} \oplus \hat{V}[-1]$ 上导出一个与标准微分 $d$ 交换的同调向量场 $\hat{\eth} = \Psi(\eth + \Gamma)$。
• 建立 $N_{\infty}$-代数与在 $\mathcal{M}$ 上与 $d$ 交换的同调向量场之间的一一对应，从而得出可缩性结果。
• 应用Kontsevich对 $L_\infty$-代数的分类，证明极小 $N_{\infty}$-代数同伦同构于线性可缩dg流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 控制 $\mathbb{R}^n$ 上Nijenhuis张量正式芽的极小dg operad 是什么？
• RQ2 如何通过operad解构将Nijenhuis可积性条件推广为强同伦结构？
• RQ3 $N_{\infty}$-代数与dg流形的同伦理论之间存在何种关系？
• RQ4 是否存在 $N_{\infty}$-结构与可缩dg流形之间的典范对应？
• RQ5 Nijenhuis结构的形变理论是否能被一个operad的极小化解完全捕捉？

主要发现

• 极小dg operad $N_{\infty}$ 构造为同调平凡dg李代数operad的cobar构造。
• $N_{\infty}$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的通用表示与满足 $N_J = 0$ 的Nijenhuis张量的正式芽之间存在一一对应。
• $N_{\infty}$-结构由形式邻域 $\hat{V}$ 上的微分形式 $\Gamma$ 编码，满足 $\mathcal{L}_{\eth}\Gamma + \frac{1}{2}[\Gamma \bullet \Gamma] = 0$，从而推广了Nijenhuis条件。
• $N_{\infty}$-代数与在 $\mathcal{M} = \hat{V} \oplus \hat{V}[-1]$ 上与标准微分 $d$ 交换的同调向量场之间存在一一对应。
• 极小 $N_{\infty}$-代数同伦同构于线性可缩dg流形，从而建立了强同伦等价。
• 任意 $N_{\infty}$-代数同伦等价于一个可缩dg流形，表明 $N_{\infty}$-代数的同伦理论与可缩dg流形的同伦理论等价。