[论文解读] Pre-Lie algebras and the rooted trees operad

Frédéric Chapoton, Muriel Livernet|ArXiv.org|Feb 10, 2000

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用 75

一句话总结

本文证明了描述预李代数的operad同构于根树operad，从而为该代数结构提供了组合实现。通过证明自由预李代数是其关联李代数的普遍包络代数上的自由模，本文确立了该operad的Koszul性质，从而将预李代数与量子场论中的Hopf代数及operadic同调理论联系起来。

ABSTRACT

A Pre-Lie algebra is a vector space L endowed with a bilinear product * : L imes L to L satisfying the relation (x*y)*z-x*(y*z)= (x*z)*y-x*(z*y), for all x,y,z in L. We give an explicit combinatorial description in terms of rooted trees of the operad associated to this type of algebras and prove that it is a Koszul operad.

研究动机与目标

• 通过根树提供预李代数定义operad的组合描述。
• 证明预李operad是Koszul的，这是operadic同调代数中的一个关键性质。
• 建立自由预李代数与它们关联李代数的普遍包络代数上的自由模之间的结构同构。
• 通过operadic与同调工具阐明预李代数、Hochschild上同调、仿射流形以及量子场论之间的联系。

提出的方法

• 将预李operad构造为在 $ S_2 $ 的正则表示上自由operad的商，模去一个编码预李恒等式的特定 $ S_3 $-不变关系。
• 将根树operad定义为由根树生成的operad，其复合规则基于嫁接操作。
• 通过显式的组合同构证明预李operad同构于根树operad。
• 利用自由预李代数的普遍性质以及普遍包络代数 $ { m U}(L_{{ m Lie}}) $ 的结构，证明在向量空间 $ V $ 上的自由预李代数同构于作为右 $ { m U}(L_{{ m Lie}}) $-模的 $ V imes { m U}(L_{{ m Lie}}) $。
• 应用operadic同调理论与 $ \mathop{\rm Tor} $函子，计算自由预李代数的同调并推导出Koszul性。
• 利用同构 $ L \simeq V \otimes {\rm U}(L_{{ m Lie}}) $，将Connes-Kreimer Hopf代数重新解释为预李代数与operadic对偶性的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过根树显式描述预李代数的operad？
• RQ2 预李operad是否为Koszul的？其支持该性质的结构性质是什么？
• RQ3 自由预李代数与其关联李代数的普遍包络代数之间存在何种关系？
• RQ4 根树的operadic结构如何与量子场论和Hochschild上同调中的已知构造相关联？
• RQ5 能否利用普遍包络代数上的模结构来计算预李代数的operadic同调？

主要发现

• 定义预李代数的operad同构于根树operad，其复合由嫁接操作给出。
• 在向量空间 $ V $ 上的自由预李代数作为右 $ {\rm U}(L_{{ m Lie}}) $-模，同构于 $ V \otimes {\rm U}(L_{{ m Lie}}) $。
• 通过使用 $ \mathop{\rm Tor} $ 函子计算其operadic同调，证明了预李operad是Koszul的。
• 自由预李代数 $ L $ 的同调 $ \mathop{\rm HPL}_n(L) $ 在 $ n=1 $ 时为 $ V $，其余情况为零，从而确认了Koszul性。
• 同构 $ L \simeq V \otimes {\rm U}(L_{{ m Lie}}) $ 为Connes-Kreimer Hopf代数提供了基于预李代数的新解释。
• 在 $ V \otimes {\rm U}(L_{{ m Lie}}) $ 上的预李积定义为 $ (v,u)*(v',u') = (v, u \otimes (\sigma(v') \star u')) $，使其成为一个同构于 $ V $ 上自由预李代数的预李代数。