[论文解读] No two starlikes have equal index

Elismar R. Oliveira, Dragan Stevanović+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Graph theory and applications参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文证明了所有具有超过三个顶点的非同构星形树的谱半径（指标）互不相同，并进一步确立了其指标可依据对应度数分拆的字典序严格排序。证明依赖于谱图论技术，特别是Jacobs-Trevisan特征值计数算法以及对星形树路径长度的递归分析。

ABSTRACT

The index of a graph is the largest eigenvalue of its adjacency matrix. A starlike is a tree having a unique vertex of degree $r>2$. We show how to order the starlike trees with $n>3$ by their indices. In particular, the indices of starlike trees are all distinct.

研究动机与目标

• 建立所有具有 n > 3 个顶点的非同构星形树的指标（邻接矩阵的最大特征值）互不相同。
• 基于其谱半径，为所有具有 n 个顶点的非同构星形树提供一个完整排序。
• 证明星形树的路径长度分拆的字典序与它们谱半径的递增顺序完全一致。
• 开发一种利用递归特征值分析和Jacobs-Trevisan对角化算法比较星形树指标的方法。
• 证明当在字典序下从一个分拆的最大类过渡到下一个类时，指标严格递增。

提出的方法

• 使用Jacobs-Trevisan算法，通过A(T) + αI的对角化，估计树中大于给定值 α 的特征值数量。
• 应用算法Diagonalize(T, -λ)，其中 λ 为谱半径的相反数，以分析特征值分布。
• 沿树的路径递归定义 b_i 值，以计算等于谱半径相反数的和。
• 使用递推关系 b_k = 1 / (λ - b_{k+1}) 建模路径段对总和的贡献。
• 对 n−1 的 r 个部分的整数分拆应用字典序，以诱导星形树的排序。
• 通过比较 b_i 值的和并利用引理2导出的不等式，证明指标在连续分拆间的单调性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有具有 n > 3 个顶点的非同构星形树是否都具有不同的谱半径？
• RQ2 星形树的谱半径能否由其路径长度分拆唯一确定？
• RQ3 星形树的路径长度分拆的字典序是否等价于其谱半径的递增顺序？
• RQ4 在通过分拆转换将一个星形树变为另一个星形树时，何种条件可确保谱半径增加？
• RQ5 Jacobs-Trevisan算法如何在无需显式计算特征值的情况下比较星形树的指标？

主要发现

• 所有具有 n > 3 个顶点的非同构星形树的指标互不相同。
• 当星形树 S(y₁,…,yᵣ) 的路径长度分拆 [y₁,…,yᵣ] 在字典序下增大时，其谱半径严格递增。
• 对于任意两个星形树 T 和 T′，若其分拆 P 和 P′ 满足 P ≺ P′ 的字典序关系，则有 λ₁(T) < λ₁(T′)。
• 从一个分拆 T 到其字典序后继 T′ 的变换，会导致谱半径严格增大。
• 该证明依赖于表明 b_i 值之和（与特征值贡献相关）在字典序后继间增加。
• 该结果对所有 r ≥ 3 和 n > 3 成立，且指标的顺序完全由 n−1 的分拆 [y₁,…,yᵣ] 的字典序决定。