[论文解读] Non-abelian Hodge theory for algebraic curves in characteristic p

Tsao-Hsien Chen, Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文在正特征 p 下建立了代数曲线的非交换 Hodge 对应关系，证明了平坦 G-丛（de Rham 局部系统）的模空间与曲线 C 的 Frobenius 拉直 C′ 上的 G-Higgs 丛的模空间之间存在等价关系。该对应关系通过涉及 p-曲率与平坦性的方程组实现，利用 Cartier 下降与 Frobenius 拉直，将 Simpson 的对应关系推广至正特征，形成特征 p 下的类比。

ABSTRACT

Let G be a reductive group over an algebraically closed field of positive characteristic. Let C be a smooth projective curve over k. We give a description of the moduli space of flat G-bundles in terms of the moduli space of G-Higgs bundles over the Frobenius twist C' of C. This description can be regarded as the non-abelian Hodge theory for curves in positive characteristic.

研究动机与目标

• 将 Simpson 的非交换 Hodge 对应关系推广至正特征 p 的代数曲线。
• 在曲线 C 上的 de Rham G-局部系统与 C′ 上的 G-Higgs 丛之间建立对应关系，其中 C′ 为 C 的 Frobenius 拉直。
• 通过引入 Hitchin 方程的特征 p 类比，解决正特征下缺乏完整非交换 Hodge 理论的问题。
• 利用 p-曲率与 Cartier 下降，借助 Frobenius 映射与叠的几何结构，建立该对应关系。
• 证明特征 p 下 Hitchin 型方程的解可诱导出稳定 Higgs 丛与不可约局部系统之间的双射，且与模空间结构相容。

提出的方法

• 提出一个包含 p-曲率 Ψ(∇) 与修正连接 ∇−θ 下 Ψ(∇) 平坦性的特征 p 下 Hitchin 方程类比。
• 利用 Frobenius 拉直丛上的典范连接 ∇^can 定义该方程组的第二个方程。
• 应用 Cartier 下降，证明具有零 p-曲率的平坦连接 ∇ 可作为 C′ 上丛的拉直。
• 证明平坦性条件蕴含 Higgs 丛 Ψ(∇) 是 C′ 上 Higgs 丛 φ′ 的拉直，从而在 C′ 上构造出 G-Higgs 丛。
• 利用晶体微分算子的 Azumaya 性质，证明 GL_n 情形下局部解的存在性，并将其推广至约化群。
• 通过 p-曲率映射 h_p 构造一个伪-Bun_{G'}-扭子，并将其识别为与 Higgs 丛相关联的 G′-叠的分裂堆。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在正特征 p 下建立类似于复数域上 Simpson 对应关系的完整非交换 Hodge 对应？
• RQ2 如何在特征 p 下重述 Hitchin 方程，以关联平坦连接与 Higgs 丛？
• RQ3 Frobenius 拉直 C′ 在实现 C 上 de Rham 局部系统与 C′ 上 Higgs 丛之间对应关系中起什么作用？
• RQ4 p-曲率映射在正特征下如何与连接与 Higgs 丛的几何结构相互作用？
• RQ5 该对应关系是否可通过使用叠与扭子的模理论构造，在正特征下实现？

主要发现

• 在正特征 p 的域上光滑射影曲线 C 上，平坦 G-丛的模空间与 C′（即 C 的 Frobenius 拉直）上 G-Higgs 丛的模空间之间存在自然同构。
• 对于 G=GL_n，特征 p 下 Hitchin 型方程的解（Ψ(∇−θ)=0 与 ((∇−θ)⊗∇^can)(Ψ(∇))=0）在 C 上局部 étale-局部存在，其依据为晶体微分算子的 Azumaya 性质。
• p-曲率映射 h_p: LocSys_G → Γ(C′, Lie G′ ⊗ Ω_{C′}) 在点层面是光滑且满射的，其微分等于 −dh_p。
• 在平凡连接处，局部系统模空间的切空间同构于 de Rham 复形的上同调，且映射 c: T_x → H^0(C′, Lie G′ ⊗ Ω_{C′}) 与 −dh_p 一致。
• 由 p-曲率映射导出的伪-Bun_{G'}-扭子等价于与 Higgs 丛相关联的 G′-叠的分裂堆，为该对应关系提供了几何解释。
• 该对应关系与 Cartier 同构相容，并通过 Frobenius 拉直与下降推广了经典 Simpson 对应关系至正特征。